inverse bei komplexen Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [mm] \IC [/mm] (ohne [mm] Null)\to\IC [/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}(z+z^{-1}) [/mm] |
Guten Abend!
Ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Verständnisproblem, wahrscheinlich völlig banal, aber ohni das verständnis dafür komme ich einfach nicht weiter..
Also die Funktion ist ja an sich simpel, nur ist mir ziemlich unklar, was ich unter [mm] z^{-1} [/mm] zu verstehen habe.. Das Inverse der Komplexen Zahlen, nur ist hier das Inverse der Addition z=-a-ib oder das Inverse der Multiplikation (Reziproke) [mm] z=\bruch{a}{a^{2}+b^{2}}-i\bruch{b}{a^{2}+b^{2}}?
[/mm]
Rein intuitiv würde ich sagen das Reziproke, denn sonst wird die Aufgabe etwas trivial [mm] z+z^{-1}=0, [/mm] nur werden in dieser Funktion die komplezen Zahlen z ja addiert..
Wäre sehr froh, wenn mir jemand aus meinem Dilemma helfen könnte =) Vielen Dank!
Liebste Grüsse Ersti
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> f: [mm]\IC[/mm] (ohne [mm]Null)\to\IC[/mm]
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})[/mm]
>
> ziemlich unklar, was ich unter [mm]z^{-1}[/mm] zu verstehen habe..
> Das Inverse der Komplexen Zahlen, nur ist hier das Inverse
> der Addition z=-a-ib oder das Inverse der Multiplikation
> (Reziproke)
Hallo,
mit "hoch minus eins" wird üblicherweise das Inverse bzgl. der Multiplikation bezeichnet, fürs Inverse bzg. der Addition würde man -z schreiben.
War's das schon?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Finde möglichst gross Gebiete auf denen [mm] f(z)=\bruch{1}{2}(z+z^{-1}) [/mm] injektiv ist. |
Vielen lieben Dank.. Ja ich war da etwas verwirrt, da wir in der linearen Algebra die Inversen ganz allgemein als [mm] z^{-1} [/mm] eingeführt haben.. Wollte einfach sicher gehen =)
Nun habe ich aber noch eine weitere Teilaufgabe dazu.
Die einzige Menge, die ich gefunden habe, auch welcher f nicht injektiv ist, ist P={z [mm] \in \IC, [/mm] |z|=1}. Da ein gebiet zusammenhängend sein muss, stimmt es, dass die Funktion auf [mm] \IC [/mm] ohne P injektiv ist? Oder habe ich da was übersehen?
Vielen Dank für die Hilfe!!
Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 14.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Finde möglichst gross Gebiete auf denen
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})[/mm] injektiv ist.
> Die einzige Menge, die ich gefunden habe, auch welcher f
> nicht injektiv ist, ist [mm] $P=\{z \in \IC, |z|=1\}$.
[/mm]
Da gibt es noch viele weitere...
Man könnte sagen, daß die Funktionswerte in Paaren auftreten, von denen jeweils eines innerhalb und das andere außerhalb des Einheitskreises liegen (bzw natürlich auch beide darauf)
Das größte Gebiet ist also
[mm] $P=\{z \in \IC \mid |z|>1\}$.
[/mm]
> Da ein gebiet
> zusammenhängend sein muss, stimmt es, dass die Funktion auf
> [mm]\IC[/mm] ohne P injektiv ist? Oder habe ich da was übersehen?
Du hast übersehen, daß [mm] $\IC \setminus [/mm] P$ gar kein Gebiet ist, weil nicht zusammenhängend.
Gruß
Will
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Ach herjemine..
Ich habe die ganze Zeit irgendwie P als P={z [mm] \in \IC, [/mm] |z| [mm] \le [/mm] 1} gesehen.. keine Ahnung wieso.. Und habe mich imme rgefragt: wieso sollte die menge nicht zusammenhängend sein =)
Na ja, jetzt ist es mir natürlich klar: lesen sollte man können!
Mir ist auch durchaus klar, dass P={z [mm] \in \IC, [/mm] |z| > 1} das grösste Gebiet ist, da ich [mm] \IC [/mm] ja eben in diese beiden Gebiete aufteile (|z| > 1,|z| < 1). Aber du scheinst das anders zu begründen..
Und noch eine Frage:
es gibt noch viele andere nicht injektive Mengen?
Vielen lieben Dank, Ersti
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 14.10.2007 | | Autor: | koepper |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ach herjemine..
> Ich habe die ganze Zeit irgendwie P als P={z [mm]\in \IC,[/mm] |z|
> [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} gesehen.. keine Ahnung wieso.. Und habe mich imme
> rgefragt: wieso sollte die menge nicht zusammenhängend sein
> =)
> Na ja, jetzt ist es mir natürlich klar: lesen sollte man
> können!
>
> Mir ist auch durchaus klar, dass P={z [mm]\in \IC,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z| > 1} das
> grösste Gebiet ist, da ich [mm]\IC[/mm] ja eben in diese beiden
> Gebiete aufteile (|z| > 1,|z| < 1). Aber du scheinst das
> anders zu begründen..
eigentlich nicht.
Ich habe nur versucht, die Verteilung der Funktionswerte anschaulich zu machen. Das mit den Paaren, von denen ich schrieb ist klar, oder?
f(x) = f(1/x)
wenn x außerhalb des EHK liegt, dann 1/x drin und umgekehrt
> Und noch eine Frage:
> es gibt noch viele andere nicht injektive Mengen?
das ist trivial: Nimm dir irgendein kleines Gebiet, auf dem f nicht injektiv ist. So etwas wie einen kleinen Kreis, dessen Mittelpunkt auf dem Einheitskreis (EHK) liegt zum Beispiel.
Dann ist f natürlich auch auf jeder Obermenge dieser Menge nicht injektiv.
Gruß
Will
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