integrierender Faktor-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 So 16.09.2012 | | Autor: | Ritus |
| Aufgabe | Gegeben ist die DGl x* y' = [mm] y+x^6.
[/mm]
a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung (in expliziter Form) mit Hilfe eines integrierenden Faktors. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
wie man über den integrierenden Faktor die Differentialgleichungen löst ist mir klar, allerdings verseteh ich nicht, wie man diese DGL umformen muss, um auf die Lösung [mm] y'-x^{-1} [/mm] · y = [mm] x^5 [/mm] zu kommen. Bei der Endlösung wäre dann ja [mm] -x^{-1} [/mm] das P, welches sich leicht integrieren lässt.
könnte mir bitte jemand erklären, wie man die DGL umformen muss, um auf das Ergebnis zu kommen?
danke
lg
ritus
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Hallo Ritus,
verwende doch bitte den Formeleditor - um der besseren Lesbarkeit willen.
Und ergänze doch bitte Dein Profil - auf dass man weiss, ob Du Schüler oder Student bist.
> Gegeben ist die DGl x* y' = [mm]y+x^6.[/mm]
>
> a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung (in expliziter
> Form) mit Hilfe eines integrierenden Faktors.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo,
>
> wie man über den integrierenden Faktor die
> Differentialgleichungen löst ist mir klar, allerdings
> verseteh ich nicht, wie man diese DGL umformen muss, um auf
> die Lösung [mm]y'-x^{-1}[/mm] · y = [mm]x^5[/mm] zu kommen. Bei der
> Endlösung wäre dann ja [mm]-x^{-1}[/mm] das P, welches sich leicht
> integrieren lässt.
>
> könnte mir bitte jemand erklären, wie man die DGL
> umformen muss, um auf das Ergebnis zu kommen?
>
> danke
>
> lg
> ritus
Ich versteh nicht ganz, was Du sagen möchtest.
Die DGL lautet: $x*y' = [mm] y+x^6$ [/mm] (?)
[mm] $y'=\frac{dy}{dx}$
[/mm]
[mm] $x*\frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] y+x^6$
[/mm]
[mm] $-(y+x^6) \; [/mm] dx + x [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
Der integrierende Faktor lautet: $I(x) [mm] \; [/mm] = [mm] \;\frac{1}{x^2}$
[/mm]
Die exakte DGL lautet dann: $- [mm] \left(\frac{y}{x^2}+x^4 \right)\; dx+\left(\frac{1}{x} \right)\;dy\;=\;0$
[/mm]
Die Lösung ist dann: $F(x,y) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{y}{x}-\frac{x^5}{5}+C$
[/mm]
Irrtum vorbehalten.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 16.09.2012 | | Autor: | Ritus |
danke für die schnelle antwort Martinius =)
allerdings ist die lösung von dir nicht richtig. nochmal zum verdeutlichen meines problems: ich habe die DGL mit der dazugehörigen Lösung gegeben, verstehe allerdings nicht, wie man die DGL umstellen muss, um den integrierenden Faktor ablesen zu können.
in der form [mm] x*y'=y+x^{6} [/mm] kann man ja den integrierenden faktor nicht ablesen.
in meiner lösung steht jetzt die DGL in folgender form:
[mm] y'-x^{-1}*y=x^{5}
[/mm]
da kann man ja jetzt den integrierenden faktor [mm] µ=-x^{-1} [/mm] direkt ablesen.
jetzt meine frage: wie forme ich die DGL aus der 1. form in die 2. form um?
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Hi,
zunächst: Martinius seine Lösung ist korrekt.
> [mm] x\cdot{}y'=y+x^{6}
[/mm]
> [mm]y'-x^{-1}*y=x^{5}[/mm]
Wie man zu der Umformung kommt?
Zuerst -y und dann wurde durch x geteilt.
>
> da kann man ja jetzt den integrierenden faktor [mm]µ=-x^{-1}[/mm]
> direkt ablesen.
>
> jetzt meine frage: wie forme ich die DGL aus der 1. form in
> die 2. form um?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 16.09.2012 | | Autor: | Ritus |
ok, diese aufgabe habe ich soweit verstanden
vielen dank
aber noch ne kurze andere frage:
ich habe die DGL y'+ [mm] \bruch{x}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{2}} [/mm] =0
diese soll per Variablentrennung gelöst werden.
ich würde dann erstmal - [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] rechnen und anschließend durch [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] teilen, ja [mm] \bruch{x}{x^{2}} [/mm] auch als [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] * y geschreiben werden kann.
dann hätte ich da stehen:
y'+y= [mm] \bruch{- \bruch{1}{x^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
in der lösung, die ich habe, steht aber, dass es y'= - [mm] \bruch{y+1}{x^{2}}
[/mm]
heißen muss.
kann mir jemand erklären, wie ich die DGL zur variablentrennung umformen muss?
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Hallo,
überprüfe deine DGL noch einmal.
> aber noch ne kurze andere frage:
>
> ich habe die DGL y'+ [mm]\bruch{x}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{2}}[/mm] =0
Diese könntest du umschreiben zu
[mm] y'=-(\bruch{x}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{2}})
[/mm]
Und jetzt einfach integrieren.
Vermutlich hast du dich i-wo verschrieben.
>
> diese soll per Variablentrennung gelöst werden.
>
> ich würde dann erstmal - [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] rechnen und
> anschließend durch [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] teilen, ja
> [mm]\bruch{x}{x^{2}}[/mm] auch als [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] * y geschreiben
> werden kann.
>
> dann hätte ich da stehen:
> y'+y= [mm]\bruch{- \bruch{1}{x^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> in der lösung, die ich habe, steht aber, dass es y'= -
> [mm]\bruch{y+1}{x^{2}}[/mm]
> heißen muss.
>
> kann mir jemand erklären, wie ich die DGL zur
> variablentrennung umformen muss?
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Es soll wohl heißen:
[mm] y'+\bruch{y}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{2}}=0
[/mm]
Das ist nun einfach Bruchrechnung. Ich weiß nicht, wo das Problem ist?!
[mm] y'+\bruch{y}{x^{2}}+\bruch{1}{x^{2}}=y'+\bruch{y+1}{x^{2}}=0
[/mm]
Also [mm] y'=-\bruch{y+1}{x^{2}}
[/mm]
Dies ist nun mittels Trennung der Variablen lösbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 So 16.09.2012 | | Autor: | Ritus |
sorry, ich hatte mich tatsächlich verschrieben, und du hast es sogar richtig korrigiert, danke.
ich habe echt den wald vor lauter bäumen nicht gesehen, logisch, jetzt wo du es mir so hinschreibst, sehe ichs auf den 1. blick.
also VIELEN VIELEN DANK ; du hast mir echt weitergeholfen !!
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