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| Aufgabe | | [mm] \integral_{ln2}^{ln4}{(e^{2x} - e^x)(e^x -2)^{1/2} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
ich komme hier nicht so richtig weiter. Integrieren würde ich per Partielle Integration wobei der erste Part mein v' ist und der zweite mein u
= [mm] (e^x -2)^{1/2} ((e^{2x} /2)-e^x) [/mm] - [mm] \integral(1/2(e^x-2)^{-1/2} ((e^{2x} /2)-e^x)
[/mm]
wenn ich so weiter rechne zieht sich die rechnung sehr lange...
nun hab ichs per substitution versucht:
[mm] t=e^x
[/mm]
somit ist [mm] e^{2x} [/mm] = [mm] t^2
[/mm]
dt/dx = [mm] e^x
[/mm]
dx = [mm] dt/(e^x) [/mm] <- kann ich dieses [mm] e^x [/mm] jetzt auch durch t "ersetzen" ?!
dx = dt/t
[mm] \integral(t^2 -t)(t-2)^{1/2} [/mm] dt/t
[mm] =\integral(t-1) (t-2)^{1/2} [/mm] /t)
aber so komm ich auch nicht so gut voran...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mi 04.03.2015 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich habe deinen Artikel bezüglich der Exponenten editiert. Du musst sie hier im Forum immer in geschweifte Klammern setzen, wenn sie aus mehr als einem Zeichen bestehen.
LG
Herby
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> [mm]\integral_{ln2}^{ln4}{(e^{2x} - e^x)(e^x -2)^{1/2} dx}[/mm]
> nun hab ichs per substitution versucht:
> [mm]t=e^x[/mm]
> somit ist [mm]e^{2x}[/mm] = [mm]t^2[/mm]
> dt/dx = [mm]e^x[/mm]
> dx = [mm]dt/(e^x)[/mm] <- kann ich dieses [mm]e^x[/mm] jetzt auch
> durch t "ersetzen" ?!
> dx = dt/t
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja
Diese Substitution ist sicher gut.
Wegen $\ dt\ =\ [mm] e^x\, [/mm] dx$ würde ich das Integral sofort
so schreiben:
[mm]\integral_{ln2}^{ln4}(e^{x} - 1)\,\sqrt{e^x -2} * \underbrace{e^x\ dx}_{dt}[/mm]
Und nun kann man gleich zur Variablen t übergehen
(und die Integrationsgrenzen mit transformieren !).
Anschließend sähe ich eine weitere Substitution.
LG , Al-Chw.
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die grenzen transformiere ich mit indem ich sie jeweils in die substitution einsetze:
[mm] t=e^x [/mm]
-> [mm] e^x [/mm] (ln2) = 2
-> [mm] e^x [/mm] (ln4) = 4
somit sind meine neuen grenzen 2 und 4 und mein integral lautet nun
[mm] \integral_{2}^{4}{(t-1) (t-2)^{1/2} dt}
[/mm]
t-2 = u [-> t=u+2]
du = dx
[mm] \integral_{2}^{4}{(u+1)u^{1/2} du}
[/mm]
[mm] \integral_{2}^{4}{u^{3/2} du} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{4}{u^{1/2} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{5} u^{5/2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} u^{3/2} [/mm] | grenzen 2 und 4 |
ist das korrekt? bin mir absolut nicht sicher
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 04.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> die grenzen transformiere ich mit indem ich sie jeweils in
> die substitution einsetze:
> [mm]t=e^x[/mm]
> -> [mm]e^x[/mm] (ln2) = 2
> -> [mm]e^x[/mm] (ln4) = 4
> somit sind meine neuen grenzen 2 und 4 und mein integral
> lautet nun
> [mm]\integral_{2}^{4}{(t-1) (t-2)^{1/2} dt}[/mm]
>
> t-2 = u [-> t=u+2]
> du = dx
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{(u+1)u^{1/2} du}[/mm]
Die Integrationsgrenzen stimmen nicht ! Ist t=2 , so ist u=0, ist t=4, so ist u=2. Wir bekommen also das Integral
[mm]\integral_{0}^{2}{(u+1)u^{1/2} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{2}^{4}{u^{3/2} du}[/mm] + [mm]\integral_{2}^{4}{u^{1/2} du}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{5} u^{5/2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3} u^{3/2}[/mm] | grenzen 2
> und 4 |
>
> ist das korrekt?
Ja, bis auf die Integrationsgrenzen
FRED
> bin mir absolut nicht sicher
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mi 04.03.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
ausgezeichnet dann hab ichs verstanden.
Vielen Dank euch allen!
Gruß
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