integrierbare Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Eine Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} g_k [/mm] integrierbarer Funktionen auf [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \integral_{}^{}{|g_k| dx} [/mm] < [mm] \infty [/mm] konvergiert fast überall gegen eine integrierbare Funktion, und es gilt: [mm] \integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty}g_k dx}=\summe_{k=1}^{\infty} \integral_{}^{}{(g_k) dx} [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir hier weiterhelfen. Ich komme nicht weiter bzw. ich weiß nicht wie ich anfangen kann...
Bitte um Hilfe!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] $s_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}g_k^{+}$ [/mm] und [mm] $t_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}g_k^{-}$
[/mm]
Dann sind [mm] (s_n) [/mm] und [mm] (t_n) [/mm] wachsende Folgen aus [mm] $L(\IR)$, [/mm] deren Integralfolgen wegen
$ [mm] \integral_{}^{}{g_k^{+} dx}, \integral_{}^{}{g_k^{-} dx} \le \integral_{}^{}{|g_k| dx}$
[/mm]
durch $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \integral_{}^{}{|g_k| dx} [/mm] $ beschränkt sind.
Wende jetzt den Satz von Beppo Levi an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich habe mal etwas probiert...
[mm] \forall g_k [/mm] : [mm] s->[0,\infty), [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty}g_k dx} [/mm] = [mm] \summe_{k\in \IN}^{}\integral_{}^{}g_k [/mm] dx meßbar
[mm] \summe_{k\in\IN}^{} \IR-wertig.
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{n} g_k \uparrow \summe_{k=1}^{\infty} g_k [/mm] folgt
[mm] \summe_{k=1}^{n} \integral_{}^{}{g_k dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}({\summe_{k=1}^{n} g_k})dx \uparrow [/mm] (Beppo Levi) [mm] \integral_{}^{}({\summe_{k\in\IN}^{} g_k})dx
[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe mal etwas probiert...
> [mm]\forall g_k[/mm] : [mm]s->[0,\infty),[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Was soll denn das bedeuten ?????
>
> [mm]\integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty}g_k dx}[/mm] = [mm]\summe_{k\in \IN}^{}\integral_{}^{}g_k[/mm]
> dx meßbar
Das sollst Du doch u.a. zeigen !! ???
>
> [mm]\summe_{k\in\IN}^{} \IR-wertig.[/mm]
Was bedeutet das nun ???
>
> Da [mm]\summe_{k=1}^{n} g_k \uparrow \summe_{k=1}^{\infty} g_k[/mm]
> folgt
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \integral_{}^{}{g_k dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}({\summe_{k=1}^{n} g_k})dx \uparrow[/mm] (Beppo
> Levi) [mm]\integral_{}^{}({\summe_{k\in\IN}^{} g_k})dx[/mm]
Dazu kann ich nichts mehr sagen, denn es ist völlig unverständlich
FRED
>
> Gruß
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Also,
[mm] \integral_{}^{}g_k^{+} [/mm] dx [mm] \leq \integral_{}^{} |g_k| [/mm] dx = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \integral_{}^{} |g_k| [/mm] dx = [mm] \integral{}^{}\summe_{k=1}^{\infty} |g_k| [/mm] dx
Gruß
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Hallo,
ich glaube nicht, dass das im vorigen Post richtig ist...
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\integral_{}^{}{g_k}dx [/mm] = (B.Levi) [mm] \integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty}g_k}dx \leq \integral_{}^{}{\summe_{k=1}^{\infty}|g_k|}dx [/mm] = (B.Levi) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\integral_{}^{}{|g_k|}dx
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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