integration mit partieller int < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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ich bin beim lösen stecken gebliebenbei dieser aufgabe
[mm] \integral_{ }^{ }{x^a * (lnx)^2 dx}
[/mm]
INTEGRAL f*g' = f*g - INTEGRAL f'*g
INTEGRAL f'*g = [mm] \integral_{ }^{ }{ x^{(a+1)} / (a+1) * 2lnx / x dx}
[/mm]
wie soll ich jetzt integrieren?? muss ich eine zweite partielle integration machen??
ps a= -1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niklas!
Du sollst also das Integral für den Spezialfall $a \ = \ -1$ ; sprich: das Integral [mm] $\integral{x^{\red{-1}}*\ln^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\ln^2(x)}{x} \ dx}$ [/mm] lösen?
Damit hast du genau den Sonderfall erwischt, bei dem man nicht partielle Integration sondern die Substitution $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] anwendet.
Gruß
Loddar
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sorry dank meiner lösungen weiß ich wie die lösung für a = -1 ist. ich habe mich vertipt, weil gerade was angebrannt ist.
ich meine a ungleich -1... das dürfte um einiges schwieriger zu lösen sein...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 27.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Du sollst also das Integral für den Spezialfall [mm]a \ = \ -1[/mm]
> ; sprich: das Integral [mm]\integral{x^{\red{-1}}*\ln^2(x) \ dx} \ = \ \integral{\bruch{\ln^2(x)}{x} \ dx}[/mm]
> lösen?
>
>
> Damit hast du genau den Sonderfall erwischt, bei dem man
> nicht partielle Integration sondern die Substitution [mm]u \ := \ \ln(x)[/mm]
> anwendet.
Das sehe ich nicht. Partielle Int ergibt
[mm] $\int_a^b \frac{\ln x^2 dx}{x}=\ln x^3\vert_a^b [/mm] - [mm] 2\int_a^b \frac{\ln x^2 dx}{x}$
[/mm]
Das letzte Integral auf die linke Seite, durch $3$ teilen und man erhaelt einen geschlossenen Ausdruck.
LG Kornfeld
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was sagt loddar dazu?
in meinen lösungen wurde für den fall a = -1 auch das substitutionsverfahren angewandt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Di 29.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Erst einmal vorneweg: es gibt Integrale, die lassen sich auf verschiedenen Wegen und mit unterschiedlichen Methoden lösen.
Aber für dieses Aufgabe muss ich zugeben, dass ich gerade nicht nachvollziehen kann, wie hier was für die partielle Integration gewählt wurde.
Vielleicht dann doch ein paar erläuternde Worte von Kornfeld ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Di 29.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
> Hallo!
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> Erst einmal vorneweg: es gibt Integrale, die lassen sich
> auf verschiedenen Wegen und mit unterschiedlichen Methoden
> lösen.
>
>
> Aber für dieses Aufgabe muss ich zugeben, dass ich gerade
> nicht nachvollziehen kann, wie hier was für die partielle
> Integration gewählt wurde.
>
> Vielleicht dann doch ein paar erläuternde Worte von
> Kornfeld ...
>
Gerne. [mm] $u:=\ln(x)$, $u'=\frac{1}{x}$, $v:=\ln(x)^2$, $v'=\frac{2\ln(x)}{x}$ [/mm] Partielle Integration: [mm] $\int_a^b [/mm] u' v = [mm] uv\vert_a^b [/mm] - [mm] \int_a^b [/mm] uv'$
D.h. [mm] $\int_a^b \frac{\ln(x)^2}{x}=\ln(x)^3\vert_a^b [/mm] - 2 [mm] \int_{a}^{b} \frac{\ln(x)^2}{x}$ [/mm] Die beiden Integrale sind bis auf die $2$ identisch. Danach wie in meiner Antwort weiter. Siehst du irgendwo einen Fehler?
LG Kornfeld
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Di 29.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kornfeld!
Danke für die Erläuterung.
Nun kann ich auch folgen  (und ich kann hier keinen Fehler entdecken. Schließlich deckt sich Dein Ergebnis mit meinem).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Di 29.05.2007 | | Autor: | kornfeld |
Super. 
Kornfeld
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niklas!
Für das [mm] Integral$\integral{\bruch{x^{a+1}}{a+1}*\bruch{2*\ln(x)}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{a+1}*\integral{x^a*\ln(x) \ dx}$ [/mm] musst Du wirklich noch eine 2. partielle Integration durchführen mit $v' \ := \ [mm] x^a$ [/mm] sowie $u \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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