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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Di 17.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
hallo alle zusammen,
ich habe folg. aufgabe zu bearbeiten:
z.z. [mm] \integral_{2}^{\infty}{1/(x*(ln x)^\alpha dx} [/mm] konvergiert g.d.w. [mm] \alpha>1.
[/mm]
sei t=ln x [mm] \Rightarrow [/mm] dx=xdt
[mm] \Rightarrow \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt} [/mm] ist zu berechnen.
fall [mm] 1:\alpha [/mm] =1: [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t dt} [/mm] = [ln t]= ln b-ln(ln2)= [mm] \infty [/mm] für b [mm] \to \infty \Rightarrow [/mm] Divergenz.
fall 2: [mm] \alpha [/mm] >1: [mm] \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt} [/mm] = [mm] -1/(\alpha+1) *t^{\alpha -1}. [/mm] da bekomm ich aber wieder etwas was gegen [mm] \infty [/mm] geht.
damit wäre das integral auch für [mm] \alpha [/mm] >1 divergent, das stimmt jedoch nicht.
sieht jemand meinen fehler bzw. kann mir sagen wie es evtl besser wäre?
vielen lieben dank!
lg nici
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> hallo alle zusammen,
> ich habe folg. aufgabe zu bearbeiten:
>
> z.z. [mm]\integral_{2}^{\infty}{1/(x*(ln x)^\alpha dx}[/mm]
> konvergiert g.d.w. [mm]\alpha>1.[/mm]
>
> sei t=ln x [mm]\Rightarrow[/mm] dx=xdt
> [mm]\Rightarrow \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt}[/mm]
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt}[/mm]
> ist zu berechnen.
>
> fall [mm]1:\alpha[/mm] =1: [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t dt}[/mm]
> = [ln t]= ln b-ln(ln2)= [mm]\infty[/mm] für b [mm]\to \infty \Rightarrow[/mm]
> Divergenz.
>
> fall 2: [mm]\alpha[/mm] >1: [mm]\integral_{ln 2}^{\infty}{1/(t^\alpha dt}[/mm]
> = [mm]-1/(\alpha+1) *t^{\alpha -1}.[/mm] da bekomm ich aber wieder
> etwas was gegen [mm]\infty[/mm] geht.
> damit wäre das integral auch für [mm]\alpha[/mm] >1 divergent, das
> stimmt jedoch nicht.
>
> sieht jemand meinen fehler bzw. kann mir sagen wie es evtl
> besser wäre?
Deine Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{t^\alpha}$ [/mm] ist falsch. Es ist richtiger, für [mm] $\alpha \neq [/mm] 1$,
[mm]\int \frac{1}{t^\alpha}\; dt=\int t^{-\alpha}\; dt = \frac{1}{-\alpha+1}\cdot t^{-\alpha+1}+C=-\frac{1}{\alpha-1}\cdot \frac{1}{t^{\alpha-1}}+C[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 17.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
vielen dank somebody.
wenn ich jetzt die grenzen für t einsetze, bekomme ich doch [mm] \infty [/mm] heraus und damit konvergiert das integral nicht, oder?
lg nici
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> vielen dank somebody.
> wenn ich jetzt die grenzen für t einsetze, bekomme ich
> doch [mm]\infty[/mm] heraus und damit konvergiert das integral
> nicht, oder?
Immer mit der Ruhe .. und einfach rechnen. Wir hatten, unter der Voraussetzung [mm] $\alpha [/mm] >1$, dass
[mm]\int\limit_{\ln(2)}^\infty \frac{1}{t^\alpha}\; dt=\lim_{b\rightarrow\infty}\left[-\frac{1}{\alpha-1}\cdot \frac{1}{t^{\alpha-1}}\right]_{t=\ln(2)}^b=-\frac{1}{\alpha-1}\cdot \lim_{b\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{b^{\alpha-1}}-\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(2)}\right)=\frac{1}{(\alpha-1)\cdot\ln^{\alpha-1}(2)}<\infty[/mm]
.. konvergiert! - ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Di 17.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
aaah!danke :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:46 Di 17.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
ich habe noch eine frage zu uneigentlichen integralen.
wenn ich die existez dieser integrale zeigen möchte, muss ich dann konvergenz zeigen, also wieder den grenzwert berechnen?
z.bsp.: [mm] \integral_{0}^{1}{cos x/x dx} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{cos x/x dx}=...
[/mm]
lg nici
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Hey
> ich habe noch eine frage zu uneigentlichen integralen.
> wenn ich die existez dieser integrale zeigen möchte, muss
> ich dann konvergenz zeigen, also wieder den grenzwert
> berechnen?
>
> z.bsp.: [mm]\integral_{0}^{1}{cos x/x dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{cos x/x dx}=...[/mm]
>
Was genau meinst du hier? Die Gleichheit stimmt nicht..
Meinst du ehr sowas:
[mm] \limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{\frac{\cos(x)}{x} dx}
[/mm]
> lg nici
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Di 17.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
ja, das meine ich. vielen lieben dank!
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