integralrechnung mit a < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ich schreibe demnächst eine klausur und habe alle übungsaufgaben erfolgreich durchgerechnet (bis auf 2 eine hab ich schon vorhin gestellt) und hier is die andere, meine freunde und ich wissen nicht wirklich wie das zu knacken geht:
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x)= [mm] x^2 [/mm] + 4
a) Berechnen Sie a so, dass das Integral [mm] \integral_{-3}^{a} [/mm] {f(x) dx} den Wert 21 annimmt
b) Erläutern Sie: Was ist bei Aufgabenteil a) zu beachten, wenn der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-achse 21 FE (FlächenEinheiten) betragen soll?
(Hinweis: Die Formvariable a soll hier nicht konkret berechnet werden!)
wir wissen echt nicht mehr weiter.helft uns bitte (die mathe klausur is schon in 2 wochen und der lehrer ist bis dahin nicht da, also können wir ihn nicht mehr fragen!)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo dytronic!
> Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x)= [mm]x^2[/mm] +
> 4
>
> a) Berechnen Sie a so, dass das Integral
> [mm]\integral_{-3}^{a}[/mm] {f(x) dx} den Wert 21 annimmt
Es soll also gelten:
[mm] $\int\limits_{-3}^a (x^2 +4)\, [/mm] dx = 21$.
Die linke Seite können wir ja berechnen. Eine Stammfunktion von [mm] $f(x)=x^2 [/mm] + 4$ ist
$F(x) = [mm] \frac{1}{3}x^3 [/mm] + 4x$.
Demnach ist:
[mm] $\int\limits_{-3}^a (x^2 +4)\, [/mm] dx = F(a) - F(-3) = [mm] \left(\frac{1}{3}a^3 + 4a \right) [/mm] - [mm] \left( \frac{1}{3}(-3)^3 + 4 \cdot (-3) \right)$
[/mm]
und die Frage ist jetzt, für welches $a$ dieser Wert gleich $21$ ist. Das bekommt ihr doch hin, oder? Einfach nach $a$ auflösen! Meldet euch wieder, mit eurem Ergebnis oder weiteren Fragen.
Um die andere Frage kümmern wir uns anschließend. Eins nach dem anderen... 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
[mm] \int\limits_{-3}^a (x^2 +4)\, [/mm] dx = F(a) - F(-3) = [mm] \left(\frac{1}{3}a^3 + 4a \right) [/mm] - [mm] \left( \frac{1}{3}(-3)^3 + 4 \cdot (-3) \right) [/mm]
ergibt (meiner Meinung nach...) [mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] +4a - (-9-12)
= [mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] +4a - (-21)
= [mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] +4a +21
muss ich diesen term jetzt gleich null oder 21 setzen?
[mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] +4a +21 = 0
oder
[mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] +4a +21 = 21
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
[mm] \bruch{ a^{3}}{3} [/mm] + 4a + 21 = 21 | x3
[mm] \gdw a^{3} [/mm] + 4a + 21 = 63 | :21
[mm] \gdw a^{3} [/mm] + 4a = 3
und weiter hab ich keinen blassen schimmer.... ich würde jetzt vllt durch 4 teilen und danach die 3 wurzel ziehen, aber was bestimmt falsch is.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Dirk,
also zunächst möchte ich dich bitten in Zukunft keine Fragen mehr in Mitteilungen zu stellen, da Mitteilungen von ihrem Dringlichkeitsstatus,
geringer sind als Fragen. D.h. Mitteilungen werden erst später betrachtet.
Und hier handelt es sich ja um eine Frage:
> [mm]\bruch{ a^{3}}{3}[/mm] + 4a + 21 = 21 | x3
wenn du auf beiden Seiten der Gleichung mit drei multiplizieren willst,
dann musst jede Seite komplett mit 3 multiplizieren.
> [mm]\gdw a^{3}[/mm] + 4a + 21 = 63 | :21
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] 3*(\bruch{a^3}{3}+4a+21)=63 [/mm] wäre richtig
Aber dieser Schritt ist eh nicht besonders sinnvoll.
Ich würde auf beiden Seiten der Gleichung 21 subtrahieren:
[mm] \bruch{a^3}{3}+4a = 0 [/mm]
Nun kannst du a auf der rechten Seite ausklammern:
[mm] a*(\bruch{a^2}{3}+4)=0 [/mm]
Jetzt kannst du die Tatsache ausnutzen, dass ein Produkt dann Null wird wenn einer der faktoren Null wird:
Probier dies mal selber ...
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ich verstehe jetzt nicht wie du von [mm] \bruch{a^3}{3}+4a [/mm]
auf [mm] a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+a)=0 [/mm] gekommen bist.
ok du hast das eine a ausgeklammert, dann steht da [mm] a^2 [/mm] aber was ist mit der 4 passiert? muss nicht anstatt dem a eine 4 in der klammer stehen? also [mm] a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+4)=0 [/mm]
ps: wer hat gesagt dass ich dirk heisse? ich heisse Rafael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Andi |
Hallo Rafael,
> ich verstehe jetzt nicht wie du von [mm]\bruch{a^3}{3}+4a[/mm]
>
> auf [mm]a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+a)=0[/mm] gekommen bist.
Das ist ganz einfach. Da hab ich mich nämlich nur verschrieben 
Sorry.
> ok du hast das eine a ausgeklammert, dann steht da [mm]a^2[/mm] aber
> was ist mit der 4 passiert? muss nicht anstatt dem a eine 4
> in der klammer stehen? also
> [mm]a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+4)=0[/mm]
Da hast du Recht!!
> ps: wer hat gesagt dass ich dirk heisse? ich heisse
> Rafael
ups ... sorry ich hatte davor einem Dirk eine Antwort geschrieben.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
gut dann wäre die Lösung meiner Ansicht nach:
$ [mm] a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+4)=0 [/mm] $
Lösung: a=0 und das in der Klammer geht nicht, da egal welche Zahl ich einsetze es immer eine positive ist und dann noch +4 kann man niemals auf null kommen
also a=0
hab ich recht?
dann wäre das endergebnis also [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} mit a=0 damit am ende 21 als ergebnis rauskommt ja?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Andi |
> gut dann wäre die Lösung meiner Ansicht nach:
>
> [mm]a\cdot{}(\bruch{a^2}{3}+4)=0[/mm]
>
> Lösung: a=0 und das in der Klammer geht nicht, da egal
> welche Zahl ich einsetze es immer eine positive ist und
> dann noch +4 kann man niemals auf null kommen
>
> also a=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hab ich recht?
Aber sicher!!
> dann wäre das endergebnis also [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {f(x)
> dx} mit a=0 damit am ende 21 als ergebnis rauskommt ja?
[mm] \integral_{-3}^{0} {x^2+4 dx} = 21 [/mm]
Ok die Aufgabe a) haben wir nun gelöst.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo zusammen!
Vielen Dank an Andi, dass er mich so glorreich vertreten hat.
Wie sieht es jetzt mit der b) aus, dytronic?
Hast du eine Idee, was hier anders sein könnte als bei der a)? Wo könnte das Problem liegen? Was ist der Unterschie zwischen dem Wert des Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und $x$-Achse?
Poste uns mal bitte deine Ideen!
Dann geht es weiter...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ehrlich gesagt hab ich keinen blassen schimmer, wenn es um theoretische fragen geht. ich hab mir mal den graphen aufgezeichnet. mir fällt nur auf, dass die parabell nach oben geöffnet ist und da die parabell nach oben verschoben ist, berührt sie nicht die x-achse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 11.10.2004 | | Autor: | noebi |
Da in diesem Fall die Funktion f(x) keinen Nullstelle hat, ist die Fläche, welche die Funktion mit der x-Achse einschließt:
A = | [mm] \integral_{-3}^{a} [/mm] {f(x) dx} | = 21
Also [mm] \integral_{-3}^{a} [/mm] {f(x) dx} = ± 21
Bei der Flächenberechnung ist also zu beachten, dass A = 21 sein kann, wenn a > -3 oder a < -3.
Das heißt es gibt zwei a, für welche die Fläche 21 ergibt. Ist ja auch logisch, wenn du es dir aufzeichnest.
Bei a < -3 wirds dann aber schwieriger, a zu berechnen, weil du dann a nicht mehr ausklammern kannst, deshalb ist es wohl auch nicht verlangt.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
MfG,
Nöbi.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ich bin mir jetzt nicht sicher ob ich das jetzt komplett verstanden habe, also die lösung ist, dass es 2 mal a gibt? eins größer als -3 und eins größer als -3. hmmmm... das geht nicht in meinen kopf, kann man das vielleicht, schülerfreundlicher erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dytronic
es haben sich ja schon so viele mit der Aufgabe beschäftigt, dass ich meinen Senf sicher auch noch dazu geben darf!?
Die vielen Beispiele, die man üblicherweise durchrechnet, um im Umgang mit Integralen etwas Uebung zu bekommen, suggerieren in der Regel - zu Unrecht - , dass die "obere Grenze" grösser sein muss als die "untere Grenze".
Das ist aber überhaupt nicht der Fall! Man darf auch auf der x-Achse von rechts nach links integrieren, das $dx$ wird dann einfach negativ, und somit auch das Integral negativ, wenn der Graf der Funktion über der x-Achse liegt. Weil aber eine Fläche generell als positiv zu nehmen ist, braucht es eben die Betragsstriche, wie sie in der letzten Antwort gegeben worden sind!
Es gilt nämlich ganz allgemein:
[mm] $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$
[/mm]
Das gilt es bei der vorliegenden Aufgabe offensichtlich zu beachten!
Damit wird die Gleichung, um ein $a < -3$ zu bestimmen, so:
[mm] $\bruch{a^{3}}{3}-4a+21=-21$
[/mm]
Kannst du das nachvollziehen?
Mit liebe Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ja ganz langsam kann ich es nachvollziehen
[mm] \int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a} [/mm] versteh ich ja, aber warum muss denn a größer als -3 sein
ich blick durch den Zahlendschungel nicht durch, was soll ich nun konkret als Antwortsatz zu b schreiben?
einfach nur :
Da [mm] \int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a} [/mm] gilt für die Gleichung [mm] \bruch{a^{3}}{3}-4a+21=-21 [/mm] a < -3 ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dytronic
ich wollte dich ja nicht verwirren!
Du hast ja gesehen, dass der Graf ganz über der x-Achse liegt.
Somit wird das Integral immer positiv, wenn du "von links nach rechts" integrierst, das heisst, das Integral stimmt mit der zwischen der x-Achse und dem Grafen der Funktion überein.
Das gab ja auch deine erste Lösung: $a=0$. $a$ liegt also rchts vom $-3$
Wenn du aber von $-3$ ausgehend dich mit dem $dx$ nach links bewegst, wird das Integral aber sicher negativ (eben, weil ja der Graf vollständig über der x-Achse liegt). Das Integral liefert somit die negative Fläche!
Die negative Fläche von $21$ ist aber $-21$.
Machst du dir das auch mal an deiner Skizze klar? Die Parabel, eine Parallele zur y-Achse bei $x=-3$ und eine Parallele zur y-Achse vielleicht etwa bei $x=-5,2$. Du stellst dann fest, das die eingeschlossenen Flächen tatsächlich etwa gleich gross sind.
Oh, jetzt erhalte ich gerade noch eine Eingebung:
Betrachte das Problem einfach einmal so:
Statt von $-3$ bis $a$ zu integrieren (unter der Voraussetzung, dass $a$ rechts von $-3$ liegt), kannst du einfach sagen:
gut, ich setze das a links von $-3$ und integriere einfach von $a$ bis $-3$, und die Fläche (das Integral) muss $= 21$ werden!
So kehren sich dann alle Vorzeichen auf der linken Seite der Gleichung um (das stellst du spätestens dann fest, wenn du das konkret berechnest), rechts bleibt aber nach wie vor die 21 stehen.
Das kommt auf das Gleiche heraus, ist aber für dich vielleicht eher nachvollziehbar.
Dann kannst du also begründen, dass
[mm] $\int_{-3}^{a}(x^{2}+4) \, [/mm] dx = 21$
oder
[mm] $\int_{a}^{-3}(x^{2}+4) \, [/mm] dx = 21$
gelten muss.
Ist es so etwas verständlicher? Oft führen viele Ueberlegungen zum gleichen Ziel, welche man sich besser merken kann, ist wohl ein Teil der individuellen Freiheit!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
ok danke vielmals
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 11.10.2004 | | Autor: | dytronic |
bei deinem ersten posting steht bei der gleichung $ [mm] \bruch{a^{3}}{3}-4a+21=-21 [/mm] $ und bei deinem zweiten beitrag steht UNTEN, bei den beiden gleichung jeweils positiv 21.... was ich nicht verstehe.
2. Frage reicht es aus, wenn ich als antwortsatz zu b schreibe:
es ist zu besachten dass hier $ [mm] \int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a} [/mm] $ gilt, somit wird die gleichung mit a< -3 bestimmt?
wenn das unzreichend sein sollte, schreibt bitte einen korrekten antwortsatz hinein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo dytronic
> bei deinem ersten posting steht bei der gleichung
> [mm]\bruch{a^{3}}{3}-4a+21=-21[/mm] und bei deinem zweiten
> beitrag steht UNTEN, bei den beiden gleichung jeweils
> positiv 21.... was ich nicht verstehe.
>
Ja, nach meiner Eingebung habe ich ja die Integrationsrichtung umgekehrt. Ich integriere also von $a$ bis $-3$. Somit wird das Integral positiv, ebenso wie es der Flächeninhalt ist. Die Kurve verläuft ja ganz oberhalb der x-Achse.
Also: für das $a < -3$ entweder
[mm] $\int_{a}^{-3}(x^{2}+4)\, [/mm] dx = 21$
oder
[mm] $\int_{-3}^{a}(x^{2}+4)\, [/mm] dx = -21$
>
> 2. Frage reicht es aus, wenn ich als antwortsatz zu b
> schreibe:
> es ist zu besachten dass hier [mm]\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}[/mm]
> gilt, somit wird die gleichung mit a< -3 bestimmt?
>
> wenn das unzreichend sein sollte, schreibt bitte einen
> korrekten antwortsatz hinein
>
Sicher sollte man meine Faulheit nicht einfach nachahmen. Korrekt heisst es nicht einfach
[mm] $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$
[/mm]
sondern
[mm] $\int_{a}^{b}f(x)\, [/mm] dx [mm] =-\int_{b}^{a}f(x)\, [/mm] dx$
Dann würde ich noch hinzufügen, dass dann die Fläche auch negativ zu nehmen ist.
Also etwa so:
Es ist zu beachten, dass
[mm] $\int_{-3}^{a}f(x)\, [/mm] dx [mm] =-\int_{a}^{-3}f(x)\, [/mm] dx$
gilt, und somit die aufzulösende Gleichung für $a<-3$ lautet:
[mm] $\int_{-3}^{a}f(x)\, [/mm] dx = -21$
Da ich als Schweizer aber die Feinheiten der deutschen Sprache nicht so richtig begreife, solltest du das aber stilistisch schon noch ins Reine bringen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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