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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 25.06.2007 | | Autor: | laughy |
| Aufgabe | Kegelstumpf
Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs mit den Radius R und r und der Höhe h soll hergeleitet werden
a) Das Kegelvolumen lässte sich als Rotationsvolumen darstellen. Begründen Sie dies anhand der Skizze
b)Zeigen Sie, dass die als Randkurve verwendete Ursprungsgrade die Steigung m= R-r/h hat.
c) Weisen Sie nach, dass a=r*h/R-r und b=R*h/R-r die Integrationsgrenzen sind.
d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes.
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Hab absolut keinen Plan, wie das geht. Kann wer helfen?
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> Kegelstumpf
> Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfs mit den Radius
> R und r und der Höhe h soll hergeleitet werden
>
> a) Das Kegelvolumen lässte sich als Rotationsvolumen
> darstellen. Begründen Sie dies anhand der Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> b)Zeigen Sie, dass die als Randkurve verwendete
> Ursprungsgrade die Steigung m= R-r/h hat.
Dies besagt: Du sollst den Kegelstumpf zum Kegel verlängert mit der Spitze in den Ursprung legen und die x-Achse als Kegelachse verwenden, wie in der obigen Skizze.
Dann siehst Du, dass, aufgrund des eingezeichneten Steigungsdreiecks, die Steigung [mm]m[/mm] der Geraden [mm]g: y=mx[/mm], die die Randkurve des Kegel(stumpfes) bildet, den angegebenen Wert [mm]m=\frac{R-r}{h}[/mm] haben muss.
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> c) Weisen Sie nach, dass a=r*h/R-r und b=R*h/R-r die
> Integrationsgrenzen sind.
Dies sind einfach die x-Koordinaten der Endpunkte [mm](a,r)[/mm] und [mm](b,R)[/mm] der auf der Geraden [mm]g[/mm] liegenden Mantellinie des Kegelstumpfes bilden.
Durch Einsetzen der Koordinaten dieser beiden Punkte in die Geradengleichung von [mm]g: y=\frac{R-r}{h}\cdot x[/mm] für x bzw. y erhältst Du je eine Bestimmungsgleichung für [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm], nämlich
[mm]r=\frac{R-r}{h}\cdot a[/mm]
und
[mm]R=\frac{R-r}{h}\cdot b[/mm]
Diese Gleichungen löst Du nach [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] auf (den diese x-Koordinaten benötigst Du als Integrationsgrenzen bei der Berechnung des Rotationsvolumens).
>
> d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes.
Siehe Formelsammlung (oder eigener Kopf, je nach Bauart):
[mm]V=\pi \cdot \int_a^b(g(x))^2\, dx[/mm]
> Hab absolut keinen Plan, wie das geht. Kann wer helfen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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