integral von funktionenfolge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mi 27.10.2010 | | Autor: | ponyka87 |
Hallo!
Ich habe eine Frage, und zwar geht es um folgendes:
ich möchte
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} a_n b_n \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}
[/mm]
bestimmen.
Dabei weiß ich: [mm] \exists [/mm] $a<1$ sodass
[mm] b_n f_n(x) \rightarrow \frac{1}{a} [/mm] gleichmäßig auf kompakten intervallen
[mm] a_n=a^{c_n} [/mm] für eine folge [mm] c_n \rightarrow \infty
[/mm]
Meine Fragen:
1. Ist zwar dumm, aber kann man [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] unters Integral ziehen? weil das ja nur Folgen von Konstanten sind?
2. Falls ja: dann lautet mein Lösungsvorschlag:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n b_n \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=\lim_{n \rightarrow \infty} \integral_{0}^{1}a_n b_n {f_n(x) dx}=\integral_{0}^{1} \lim_{n \rightarrow \infty} {a_n b_n f_n(x) dx}=0$
[/mm]
weil
[mm] b_n f_n(x) \rightarrow \frac{1}{a} [/mm] gleichmäßig auf $[0,1]$. Außerdem [mm] $a_n \rightarrow [/mm] 0$ , unabhängig von x. Damit müssen für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] N_1 [/mm] und ein [mm] N_2 [/mm] existieren sodass
[mm] $|b_n f_n(x)-\frac{1}{a}|<\varepsilon$ $\forall [/mm] n [mm] \ge N_1$ [/mm] und [mm] $|a_n|<\varepsilon$ $\forall [/mm] n [mm] \ge N_2$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$, also
[mm] $|a_n b_n f_n(x)| \le |a_n| |b_n f_n(x)|<|a_n| (|b_n f_n(x)-\frac{1}{a}| [/mm] + [mm] |\frac{1}{a}|) [/mm] < [mm] \varepsilon (\varepsilon [/mm] + [mm] \frac{1}{a})$ $\forall [/mm] n [mm] \ge \min\{N_1,N_2\}$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]$
Kann man das so begründen bzw ist das richtig?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
ich hoffe, dein a ist positiv. Wenn ja, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
Da $ [mm] b_n f_n(x) \rightarrow \frac{1}{a} [/mm] $ gleichmäßig auf [0,1] folgt:
[mm] $b_n* \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= \integral_{0}^{1}{b_nf_n(x) dx} \to \integral_{0}^{1}{\frac{1}{a} dx}= \frac{1}{a}$
[/mm]
Dann: [mm] $a_nb_n* \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} \to [/mm] 0$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Mi 27.10.2010 | | Autor: | ponyka87 |
ja, $a [mm] \in [/mm] (0,1)$.
vielen lieben dank!!
|
|
|
|
