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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 07.09.2008 | | Autor: | lum_pi |
hallo,
ich habe eine frage bzgl. des folgenden integrals:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{3(x^2+x+1)}dx} [/mm] , wie kann man dieses
integral am schnellsten und einfachsten lösen?
danke für eine antwort
gruß
lum_pi
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Hallo lum_pi,
> hallo,
> ich habe eine frage bzgl. des folgenden integrals:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{3(x^2+x+1)}dx}[/mm] , wie kann man
> dieses
>
> integral am schnellsten und einfachsten lösen?
So ganz schnell und einfach ist dieses Integral nicht 
Ziehe zuerst mal die [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] raus
[mm] $...=\frac{1}{3}\int{\frac{x}{x^2+x+1} \ dx}$
[/mm]
Dann ein "Erweiterungstrick": [mm] $=\frac{1}{\blue{2}\cdot{}3}\int{\frac{\blue{2}x}{x^2+x+1} \ dx}=\frac{1}{6}\int{\frac{2x\red{+1-1}}{x^2+x+1} \ dx}=\frac{1}{6}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \frac{1}{6}\int{\frac{1}{x^2+2+1} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist nun ein logarithmisches Integral, also von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, [/mm] das hat die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|+c$
[/mm]
(Zu Fuß per Substitution $u:=f(x)$, hier [mm] $u:=x^2+x+1$)
[/mm]
Das hintere schreibe noch ein bissl um:
[mm] $\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}=\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$
[/mm]
Kommt dir das bekannt vor?
Tipp: [mm] $\int{\frac{1}{x^2+1} \ dx}=\arctan(x)$
[/mm]
>
> danke für eine antwort
> gruß
> lum_pi
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 So 07.09.2008 | | Autor: | lum_pi |
hallo schachuzipus,
danke für den tipp mit der erweiterung, wenn man den kennt, dann ist der rest ja kein problem mehr.
also danke nochmal
gruß
lum_pi
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