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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 20.04.2008 | | Autor: | einszwei |
| Aufgabe | | gesucht ist der durch die x-achse und der kurve von g(x)= [mm] 1/16x^3 [/mm] - x begrenzte flächeninhalt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 So 20.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo, willkommen im Matheraum!
Da du neu bist, weise ich dich erst einmal auf die Regeln hin! Diese stehen auch immer unter dem Eingabefenster (genauer: unter dem "Senden"-Button).
Eine wichtige Regel lautet: "Eigene Ideen und Lösungsansätze posten oder konkrete Frage stellen."
Aber mach dir nichts draus, bist ja das erste mal hier :)
Also, wie sieht's aus? Weiß du, wie du anfangen musst oder hast du schon etwas rumgerechnet?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 So 20.04.2008 | | Autor: | einszwei |
um das geht es ja! ich hab wirklich kein plan wie es geht! war letzte woche krank und das ist ein neues thema
hab weder ansätze sonst noch was ufff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 So 20.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Ach so, ok ;)
Welche Vorkenntnisse hast du denn schon? Kannst du Funktionen normal integrieren?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 So 20.04.2008 | | Autor: | einszwei |
boa eben nichts sorry versteh nicht mal integrieren und das sollte nicht ne verarschung sein das ihr mir die HA macht! kappier echt nichts :S deswegen versuch ich ja auch zum ersten mal die fragen in einen forum zu stellen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Achso, sorry, wollte dir nicht krumm kommen ;) na gut, dann kann ich dir nur einen kleinen Crashkurs anbieten.
Integrieren tut man, wenn man zu einer gegebenen Funktion f(x) eine Funktion F(x) sucht, die abgeleitet f(x) ergibt.
Beispiel: f(x)=2x.
Welche Funktion F(x) ergibt abgeleitet f(x)=2x?
Das könnte z.b. F(x)=x² sein. Wenn du ableiten kannst, siehst du das ja :) F'(x)=f(x).
Integrieren ist also die Umkehrung des Ableitens könnte man sagen. Die Funktion, die beim Integrieren entsteht, nennt man Stammfunktion von f und bezeichnet sie mit F (wie schon erwähnt). Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, solltest du auch wissen.
Nehmen wir nochmal f(x)=2x: Eine Stammfunktion wäre F(x)=x². Aber eine andere Stammfunktion wäre auch [mm] F_2(x)=x²+1, [/mm] weil [mm] F_2(x) [/mm] abgeleitet auch wieder f(x) ergibt! Oder [mm] F_3(x)=x²+\pi, F_4(x)=x²-121212, [/mm] ...
Das solltest du dir also merken, zu einer gegebenen Funktion F gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante (einfach eine normale Zahl ohne x ;)) C unterscheiden.
Eine "allgemeine Formel" für ganzrationale Funktionen wäre:
[mm] f(x)=ax^n [/mm] -> [mm] F(x)=\bruch{a}{n+1}x^{n+1}+C
[/mm]
Noch mehr Beispiele: Du suchst eine Stammfunktion zu [mm] f(x)=3x^4.
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{3}{5}x^5+C [/mm] (einfach in die erwähnte Formel eingesetzt). Klar so weit? Ach ja, und wenn du mehrere Summanden hast, kannst du jeden einzeln integrieren, wie beim ableiten also ca.
Jetzt solltest du das Integralzeichen [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] kennenlernen.
Dieses Zeichen steht für das unbestimmte Integral einer Funktion. Klingt neu, aber im Prinzip kennst du es jetzt schon.
[mm] \integral_{}^{}{2x dx}=x²+C
[/mm]
Das unbestimmte Integral von f ist die Menge aller Stammfunktionen f (die Menge, weil es ja unendlich viele wegen dem +C gibt).
Ich lasse mal eventuelle Beweise etc. aus, weild as jetzt zu lange dauern würde ;) Aber ich zeige die jetzt, wie man Flächen zwischen Grafen und der x-Achse bestimmt.
Beispiel: Gesucht ist der Flächeninhalt A der Fläche. die von f(x)=-x²+1 und der x-Achse vollständig begrenzt wird (kannst du die ja aufzeichen, diese Fläche geht von -1 bis 1).
[mm] A=\integral_{-1}^{1}{(-x²+1) dx}=[-\bruch{1}{3}x^3+x]^1_{-1}
[/mm]
Dieses Integralzeichen mit den Zahlen heißt bestimmtes Integral. Du integrierst die Funktion dabei wie schon oben erwähnt, aber wenn du fertig bist, setzt du in die erhaltene Funktion die obere Zahl ein und ziehst davon die Funktion mit der unteren Zahl eingesetzt ab.
Beispiel:
[mm] \integral_{1}^{2}{2x dx}=[x²]^2_1=2²-1²=3
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{5}{(4x³-3x²) dx}=[x^4-x³]^5_0=(5^4-5^3)-(0^4-0^3)=500
[/mm]
Wenn du das bestimmte Integral so ausrechnest und die Funktion in dem Intervall, in dem du das bestimmte Integral berechnest, über der x-Achse liegt, du gibt das bestimmte Integral die Fläche an, die zwischen Graf und x-Achse liegt!
Zurück zur Beispielaufgabe mit f(x)=-x²+1:
Die Funktion verläuft zwischen -1 und 1 immer über der x-Achse, deshalb ist der Flächeninhalt das bestimmte Integral von f(x) von -1 bis 1.
[mm] A=\integral_{-1}^{1}{(-x²+1) dx}=[-\bruch{1}{3}x^3+x]^1_{-1}=(-\bruch{1}{3}*1^3+1)-(-\bruch{1}{3}(-1)^3+(-1))=\bruch{4}{3}.
[/mm]
Damit wäre der Flächeninhalt [mm] A=\bruch{4}{3}FE.
[/mm]
Verläuft eine Funktion in einem Intervall nur unterhalb der x-Achse, so erhälst du für das bestimmte Integral eine negative Zahl. Bildest du aber den Betrag davon, machst aus dem - also einfach ein +, so spiegelt diese Zahl auch den Flächeninhalt wieder, der zwischen Funktion und x-Achse liegt.
Boah... verdammt viel text, ist auch alles etwas oberflächlich, aber frag ruhig nach, wenn etwas unklar ist.
Wichtig ist auf alle Fälle noch: Wenn deine Funktion Nullstellen hat, dann musst du immer von Nullstelle zu Nullstelle integrieren.
Beispiel: Bestimme die Fläche zwischen f(x)=x³-x und der x-Achse.
Erstmal musst du die Nullstellen bestimmen. Diese wären bei -1, 0 und 1.
Dann hast du: [mm] A=|\integral_{-1}^{0}{(x³-x) dx}|+|\integral_{0}^{1}{(x³-x) dx}|
[/mm]
Wenn du einfach immer Betragsstriche drumsetzt, bist du auf der sicheren Seite, dann musst du nicht erst gucken, ob der Graf gerade oberhalb oder unterhalb der x-Ache verläuft.
Das ist erst einmal das grundlegendste...
Teufel
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