injektiver Gruppenhomomorphism < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Finden Sie einen injektiven Gruppenhomomorphismus Sn --> GL(n;R). (Sn ist die symmetrische Gruppe mit n! Elementen, GL(n;R) ist die multiplikative Gruppe der invertierbaren nxn Matrizen mit Einträgen aus R.) |
Hallo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Um zu zeigen, dass z.B. f: Sn--> GL ein Gruppenhomomorphismus ist, muss man zeigen, dass für alle x,y aus Sn gilt: f(x [mm] \circ [/mm] y)= f(x)*f(y).
Ich muss also eine Operation finden, so dass wenn ich Elemente aus Sn vertausche, das selbe rauskommt wie wenn ich zwei Matrizen miteinander multipliziere. Ist das richtig?
Ich hab mir erstmal ein Beispiel gemacht p=(a b c d)-->(a c d b). Dann habe ich versucht, dass mit Matrixmultiplikation irgendwie darzustellen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0}* \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] = (a c d b).
Aber irgendwie weiß ich nicht wieter:-(.
Kann mir vielleicht bitte jemand helfen.
Viele Grüße,
Jana
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Sa 30.10.2010 | | Autor: | wauwau |
Sei also a= [mm] (x_1,x_2,....,x_n) [/mm] ein element der symmetrischen Gruppe, so
So f(a) sei dann jene Matrix, dessen [mm] (i,x_i) [/mm] =1 ansonsten 0 ist.
dann hast du deinen injekt. homomorphismus...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Jana-stud |
ok, vielen Dank!
|
|
|
|
