injektiv, surjektiv, total < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
habe folgende Aufgabenstellung:
f1: [mm] \IN \times \IN \to \IN \times \IN, [/mm] mit f1 (m, n) = (n * m, n)
f2: [mm] \IN \times \IN \to \IN \times \IN, [/mm] mit f2 (m, n) = (m + n², m)
f3:
f4: usw...
Zu beachten ist daß 0 [mm] \in \IN.
[/mm]
nun ist anzugeben, ob diese Funktionen injektiv und/oder surjektiv sind.
Leider habe ich wieder mal ein Verständnisproblem schon alleine mit der Angabe (f1 (m, n) = (n * m, n) )
DANKE,
RoterBlitz
|
|
| |
|
Hi RoterBlitz,
In der letzten Antwort von wluut war ein sehr guter Link zu einer freien ![[]](/images/popup.gif) Wissensdatenbank, die sicherlich auch Infos zu Injektivität, Surjektivität und anderen Dingen enthält. Alternativ: Schau dich doch einfach mal auf dieser Seite etwas um.  Unter links auf der Startseite findest du den Kasten "Partnerseiten" (vor allem der Links zur MatheBank dürfte interessant sein.)
Also gut, hier erstmal einige Definitionen (Es wird angenommen, daß M und N zwei nichtleere Mengen sind.)
Injektivität:
Eine Funktion $f:M [mm] \to [/mm] N$ nennt man injektiv, wenn [m]\forall x,y \in M:f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow x = y[/m].
Surjektivität:
Eine Funktion $f:M [mm] \to [/mm] N$ nennt man surjektiv, wenn [m]\forall y \in N\,\exists x \in M:f\left( x \right) = y[/m].
Zur Totalität kann ich dir im Moment noch nicht wirklich helfen, aber ich meine, daß das ähnlich der Surjektivität ist.
Ok, und jetzt zu deinen Aufgaben:
Gegeben [m]f_1 : = \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}^2 ;\,f_1 \left( {m,n} \right) = (nm,n)[/m]. Wir wollen zeigen oder widerlegen, daß [mm] $f_1$ [/mm] injektiv und/oder surjektiv ist:
Es gilt: [m]\begin{gathered}
f_1 (m_1 ,n_1 ) = f_1 \left( {m_2 ,n_2 } \right) \Leftrightarrow (n_1 m_1 ,n_1 ) = (n_2 m_2 ,n_2 ) \hfill \\
\Rightarrow \left( {\text{I}} \right)\;n_1 = n_2 \wedge \left( {{\text{II}}} \right)\;n_1 m_1 = n_2 m_2 \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {\text{I}} \right)} n_1 m_1 = n_1 m_2 \Leftrightarrow m_1 = m_2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit müßte [mm] $f_1$ [/mm] injektiv sein. Ist [mm] $f_1$ [/mm] surjektiv? Es gilt:
[m]\begin{gathered}
\left( {nm,n} \right) = \left( {y_1 ,y_2 } \right) \Rightarrow n = y_2 \Rightarrow y_2 m = y_1 \hfill \\
\Leftrightarrow m = \frac{{y_1 }}
{{y_2 }} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Allerdings sagst du, daß 0 nicht ausgeschlossen wurde. Für [mm] $y_2 [/mm] = 0$ kriegen wir Probleme, also ist [mm] $f_1$ [/mm] vermutlich nicht surjektiv.
Dasselbe müßtest du jetzt auch mit [mm] $f_2$ [/mm] probieren.
Gruß
Karl
|
|
|
| |
|
Hallo RoterBlitz!
> f1: [mm]\IN \times \IN \to \IN \times \IN,[/mm] mit f1 (m, n) =
> (n * m, n)
> Leider habe ich wieder mal ein Verständnisproblem schon
> alleine mit der Angabe (f1 (m, n) = (n * m, n) )
Deine Funktion [mm] f_1 [/mm] ist definiert auf der Menge [mm] \IN \times \IN, [/mm] das heißt dein Definitionsbereich ist zweidimensional, du hast als Eingabe also zwei Werte bzw. ein Tupel von zwei Zahlen. Und dein Wertebereich ist ebenso definiert, das heißt, du erhältst auch ein Tupel von zwei Zahlen.
[mm] f_1(m,n)=(n*m,n) [/mm] bedeutet nun lediglich, dass die erste "Komponente" von der Eingabe (also das m) auf n*m abgebildet wird und die zweite Komponente einfach so bleibt, wie sie ist.
Beispiel:
[mm] f_1(2,3)=(3*2,3)=(6,3)
[/mm]
verstehst du die Schreibweise jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
|
