injektiv, surjektiv, bijektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 02.04.2015 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Ich will die Definitionen zur injektivität, surjektivität und bijektivität nur in Worten, also ohne Formeln, beschreiben. ich hätte es so definiert:
Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens ein oder kein Element der Definitionsmenge annimmt.
Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens ein Element der Definitionsmenge annimmt.
Bijektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau ein Element der Definitionsmenge annimmt.
Sind die Definitionen so richtig? |
Kann mir jemand auch jeweils eine Beispiel-funktion für diese 3 fälle nennen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Do 02.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich will die Definitionen zur injektivität, surjektivität
> und bijektivität nur in Worten, also ohne Formeln,
> beschreiben. ich hätte es so definiert:
>
>
> Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge
> höchstens ein oder kein Element der Definitionsmenge
> annimmt.
Du meinst es vielleicht richtig, drückst es aber falsch aus: Für jedes Element
der Zielmenge gibt es höchstens ein Element (d.h. eines oder keines!) der
Definitionsmenge derart, dass dessen Funktionswert das genannte Element
der Zielmenge ist. (Man sagt dann auch kurz, dass das Element der
Zielmenge [von/durch das Element des Definitionsbereichs] *erreicht* werde!)
Dennoch auch mal formal: Für $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ sagt man, [mm] $f\,$ [/mm] sei injektiv, wenn:
Für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ ist [mm] $\left|f^{-1}(\{z\})\right|\;\le\;1$.
[/mm]
(Dabei ist
[mm] $f^{-1}(\{z\})=\{d \in D:\;\; \underbrace{f(d) \in \{z\}}_{\iff f(d)=z}\}$.)
[/mm]
Anders gesagt: Jedes Element der Zielmenge wird höchstens(!) von einem
Element der Definitionsmenge *erreicht*.
> Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge
> mindestens ein Element der Definitionsmenge annimmt.
S.o.: Jedes Element der Zielmenge wird mindestens(!) von einem Element
des Definitionsbereichs *erreicht*.
Formal: Für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ [mm] $\exists$ [/mm] $d [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $f(d)=z\,,$ [/mm] oder:
Für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ ist [mm] $\left|f^{-1}(\{z\})\right|\;\ge\;1$.
[/mm]
> Bijektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge
> genau ein Element der Definitionsmenge annimmt.
Jedes Element aus [mm] $Z\,$ [/mm] wird von genau einem Element des Definitionsbereichs
*erreicht*.
> Sind die Definitionen so richtig?
Du hast es vielleicht richtig gemeint, aber nicht richtig formuliert.
> Kann mir jemand auch jeweils eine Beispiel-funktion für
> diese 3 fälle nennen?
Klar: Betrachten wir $f,g [mm] \colon \{a,b,c\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] mit [mm] $|\{a,b,c\}|=3$. [/mm] Für
$f(x):=x$ ($x [mm] \in \{1,2,3\}$) [/mm] gilt, dass [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist.
Nun sei [mm] $g\,$ [/mm] definiert durch [mm] $g(a):=g(b):=1\,$ [/mm] und [mm] $g(\red{c}):=2\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $g\,$ [/mm] sicher
nicht injektiv - denn die [mm] $1\,$ [/mm] wird von mehr als einem Element erreicht, nämlich?
(Kleine Korrektur!)
[mm] $g\,$ [/mm] ist auch nicht surjektiv - denn die [mm] $3\,$ [/mm] wird ja gar nicht erreicht.
Jetzt noch für Dich:
1) Begründe, dass für [mm] $|\{a,b,c,d\}|=4\,$ [/mm] und $h [mm] \colon \{a,b,c,d\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] automatisch
schon gilt, dass [mm] $h\,$ [/mm] nicht injektiv sein kann - egal, wie [mm] $h\,$ [/mm] konkret auch definiert
sein möge.
2) Begründe, dass jede Funktion $k [mm] \colon \{a,b\} \to \{1,2,4,9,16\}$ [/mm] automatisch schon
nicht surjektiv sein kann!
3) Sind Abbildungen [mm] $\IN \to \IN$ [/mm] automatisch bijektiv?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 02.04.2015 | | Autor: | needmath |
> Klar: Betrachten wir [mm]f,g \colon \{a,b,c\} \to \{1,2,3\}[/mm] mit
> [mm]|\{a,b,c\}|=3[/mm]. Für
> [mm]f(x):=x[/mm] ([mm]x \in \{1,2,3\}[/mm]) gilt, dass [mm]f\,[/mm] bijektiv ist.
>
> Nun sei [mm]g\,[/mm] definiert durch [mm]g(a):=g(b):=1\,[/mm] und
> [mm]g(\red{c}):=2\,.[/mm] Dann ist [mm]g\,[/mm] sicher
> nicht injektiv - denn die [mm]1\,[/mm] wird von mehr als einem
> Element erreicht, nämlich?
> (Kleine Korrektur!)
durch die Elemente a und b
> Jetzt noch für Dich:
> 1) Begründe, dass für [mm]|\{a,b,c,d\}|=4\,[/mm] und [mm]h \colon \{a,b,c,d\} \to \{1,2,3\}[/mm]
> automatisch
> schon gilt, dass [mm]h\,[/mm] nicht injektiv sein kann - egal, wie
> [mm]h\,[/mm] konkret auch definiert
> sein möge.
weil die Definitionsmenge größer ist als die Zielmenge. Dadurch muss ein Element der Definitionsmenge mehr als einmal einem Element der Zielmenge zugeordnet werden
> 2) Begründe, dass jede Funktion [mm]k \colon \{a,b\} \to \{1,2,4,9,16\}[/mm]
> automatisch schon
> nicht surjektiv sein kann!
weil die Zielmenge größer ist als die Definitionsmenge. Dadurch kann nicht jedes Element der Zielmenge durch mindestens ein Element der Definitionsmenge erreicht werden
> 3) Sind Abbildungen [mm]\IN \to \IN[/mm] automatisch bijektiv?
nein nur weil die Definitions- und Zielmenge aus dem selben Zahlbereich bestehen, heißt es nicht das jedes Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird.
habe ich die Aufgaben richtig gelöst?
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> > Klar: Betrachten wir [mm]f,g \colon \{a,b,c\} \to \{1,2,3\}[/mm] mit
> > [mm]|\{a,b,c\}|=3[/mm]. Für
> > [mm]f(x):=x[/mm] ([mm]x \in \{1,2,3\}[/mm]) gilt, dass [mm]f\,[/mm] bijektiv ist.
> >
> > Nun sei [mm]g\,[/mm] definiert durch [mm]g(a):=g(b):=1\,[/mm] und
> > [mm]g(\red{c}):=2\,.[/mm] Dann ist [mm]g\,[/mm] sicher
> > nicht injektiv - denn die [mm]1\,[/mm] wird von mehr als einem
> > Element erreicht, nämlich?
> > (Kleine Korrektur!)
>
> durch die Elemente a und b
>
>
ja
>
> > Jetzt noch für Dich:
> > 1) Begründe, dass für [mm]|\{a,b,c,d\}|=4\,[/mm] und [mm]h \colon \{a,b,c,d\} \to \{1,2,3\}[/mm]
> > automatisch
> > schon gilt, dass [mm]h\,[/mm] nicht injektiv sein kann - egal,
> wie
> > [mm]h\,[/mm] konkret auch definiert
> > sein möge.
>
> weil die Definitionsmenge größer ist als die Zielmenge.
> Dadurch muss ein Element der Definitionsmenge mehr als
> einmal einem Element der Zielmenge zugeordnet werden
>
ja
> > 2) Begründe, dass jede Funktion [mm]k \colon \{a,b\} \to \{1,2,4,9,16\}[/mm]
> > automatisch schon
> > nicht surjektiv sein kann!
>
> weil die Zielmenge größer ist als die Definitionsmenge.
> Dadurch kann nicht jedes Element der Zielmenge durch
> mindestens ein Element der Definitionsmenge erreicht
> werden
ja
>
> > 3) Sind Abbildungen [mm]\IN \to \IN[/mm] automatisch bijektiv?
>
>
> nein nur weil die Definitions- und Zielmenge aus dem selben
> Zahlbereich bestehen, heißt es nicht das jedes Element der
> Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet
> wird.
>
Deine Antwort stimmt kannst du ein Beispiel einer Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm] finden, die nicht bijektiv ist?
>
> habe ich die Aufgaben richtig gelöst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 02.04.2015 | | Autor: | needmath |
> Stimmt kannst du ein Beispiel einer Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm]
> finden, die nicht bijektiv ist?
okey ich verstehe, jede Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm] ist bijektiv
ist das folgende richtig?
[mm] f(x)=x^2 [/mm] ist surjektiv mit x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] f(x)=x^2 [/mm] ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv mit x [mm] \in \IR^{+}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 02.04.2015 | | Autor: | Ladon |
> > Stimmt kannst du ein Beispiel einer Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm]
> > finden, die nicht bijektiv ist?
>
> okey ich verstehe, jede Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm] ist
> bijektiv
Nein. Bsp.: [mm] $f:\IN\to\IN [/mm] $, $f [mm] (n)=n^2$ [/mm] ist nicht surjektiv.
> ist das folgende richtig?
>
> [mm]f(x)=x^2[/mm] ist surjektiv mit x [mm]\in \IR[/mm]
Von wo nach wo bildet die Funktion ab? [mm] $f:\IR\to\IR [/mm] $ ist ganz gewiss nicht surjektiv. Es ex. z.B. kein [mm] $x\in\IR [/mm] $, s.d. $f(x)=-1$.
> [mm]f(x)=x^2[/mm] ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
> mit x [mm]\in \IR^{+}[/mm]
>
[mm] $f:\IR_0^+\to\IR [/mm] $ ist injektiv, aber offensichtlich nicht surjektiv (s.o.).
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Fr 03.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo needmath,
da sehr viele Erstsemester Probleme mit den Begriffen injektiv, surjektiv und bijektiv haben, möchte ich an dieser Stelle auf die Erklärungen von Modler und Kreh in Kapitel 3 hinweisen. Auch in ![[]](/images/popup.gif) Google Books nachzulesen.
Ich denke das Buch ist hilfreich die Grundlagen zu verstehen.
Viele Grüße
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Stimmt kannst du ein Beispiel einer Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm]
> > finden, die nicht bijektiv ist?
>
> okey ich verstehe, jede Abbildung von [mm]\IN \to \IN[/mm] ist
> bijektiv
>
> ist das folgende richtig?
>
> [mm]f(x)=x^2[/mm] ist surjektiv mit x [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=x^2[/mm] ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv
> mit x [mm]\in \IR^{+}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nur mal noch als Hinweis: Um von der Injektivität einer Funktion zu
sprechen, brauchst Du wenigstens den Definitionsbereich. Eine
(äquivalente!!!) Umformulierung der Injektivität lautet:
$f \colon D \to Z$ ist genau dann injektiv, wenn für ALLE $x_1,x_2 \in D$ gilt, dass
$f(x_1)=f(x_2)$ schon $x_1=x_2$ nach sich zieht.
(Formuliere davon auch mal die Kontraposition!)
So ist $f \colon [0,\infty) \to \IR$ mit $f(x)=x^2$ zwar injektiv, nicht aber $g \colon \IR \to \IR$ mit $g(x)=x^2$.
(Es gilt übrigens $\left. g \right|_{[0,\infty)}\,=\,f$.)
Die Surjektivität macht keinen Sinn, wenn man keinen Zielbereich angibt.
So ist obiges $f \colon [0,\infty) \to \IR$ mit $f(x)=x^2$ zwar injektiv, keineswegs
aber surjektiv; denn wähle (meinetwegen konkret) irgendein $p > 0\,,$ und
suche mal ein $d \in [0,\infty)$ mit $f(d)=d^2=\;\red{-}\;p$ ... viel Spaß dabei!
Jede injektive Funktion $\ell \colon D \to Z$ (beachte, dass bei Funktionen dann auch $\ell(D) \subseteq Z$
gelten muss) kann man "bijektiv *machen*". Dazu *ersetze* man $Z\,$ durch $\ell(Z)$ [und
gebe der *neuen* Funktion besser erstmal auch eine neue Bezeichnung!]. Damit
*wird sie umkehrbar* (einige Autoren sprechen nur bei bijektiven Funktionen
davon; daran orientiere ich mich hier gerade; andere reden auch schon bei
"nur injektiven" Funktionen davon, dass sie eine Umkehrfunktion haben).
Generell sollte man bei den Begriffen "injektiv, surjektiv und bijektiv" dran
denken, dass nicht nur *die Relation $f\,$* dabei *gebraucht* wird, sondern
am Besten merkt man sich, dass man das "Tripel" $(f,\,D,\,Z)$ benötigt.
Generell ist es ja auch schon so, dass sich nicht alle Autoren einig sind,
was man alles zur Beschreibung einer Funktion *mitnehmen sollte*:
Funktion (Wiki): Mengentheoretische Definition!
Bei dem Begriff der Surjektivität steht aber schon extra dabei, dass man
dort die Zielmenge *braucht*.
Ich würde halt sagen: Halte Dich momentan an den Satz von Wiki:
"Man kann jedoch auch noch die Definitionsmenge hinzunehmen und eine
Funktion entsprechend als ein Tripel $f = [mm] (G_f,D,Z)$, [/mm] (mit) [mm] $G_f$ [/mm] wie oben,
definieren."
wenn Du Untersuchungen zur [mm] $\alpha$-jektivität [/mm] mit [mm] $\alpha \in \{\text{In},\;\text{Sur},\;\text{Bi}\}$ [/mm] machst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 02.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Klar: Betrachten wir [mm]f,g \colon \{a,b,c\} \to \{1,2,3\}[/mm] mit
> > [mm]|\{a,b,c\}|=3[/mm]. Für
> > [mm]f(x):=x[/mm] ([mm]x \in \{1,2,3\}[/mm]) gilt, dass [mm]f\,[/mm] bijektiv ist.
> >
> > Nun sei [mm]g\,[/mm] definiert durch [mm]g(a):=g(b):=1\,[/mm] und
> > [mm]g(\red{c}):=2\,.[/mm] Dann ist [mm]g\,[/mm] sicher
> > nicht injektiv - denn die [mm]1\,[/mm] wird von mehr als einem
> > Element erreicht, nämlich?
> > (Kleine Korrektur!)
>
> durch die Elemente a und b
genau (beachte auch $a [mm] \neq [/mm] b$)! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > Jetzt noch für Dich:
> > 1) Begründe, dass für [mm]|\{a,b,c,d\}|=4\,[/mm] und [mm]h \colon \{a,b,c,d\} \to \{1,2,3\}[/mm]
> > automatisch
> > schon gilt, dass [mm]h\,[/mm] nicht injektiv sein kann - egal,
> wie
> > [mm]h\,[/mm] konkret auch definiert
> > sein möge.
>
> weil die Definitionsmenge größer ist als die Zielmenge.
Da fehlt mir aber etwas - denn der Begriff *größer* ist hier nicht ganz klar.
Argumentiere mit der Anzahl der Elemente der beiden ENDLICHEN Mengen.
Dass Du aber das richtige meinst, steht außer Frage!
> Dadurch muss ein Element der Definitionsmenge mehr als
> einmal einem Element der Zielmenge zugeordnet werden
>
> > 2) Begründe, dass jede Funktion [mm]k \colon \{a,b\} \to \{1,2,4,9,16\}[/mm]
> > automatisch schon
> > nicht surjektiv sein kann!
>
> weil die Zielmenge größer ist als die Definitionsmenge.
S.o.. Das wäre mir - ehrlich gesagt - zu salopp gesagt, wenngleich Du es
richtig meinst. Tatsächlich kann man auch beweisen, dass es solche Abbildungen
nicht gibt. Nimm' einfach mal an, es gäbe sie doch. Dann musst Du bspw. etwa
noch (ein oder zwei) zusätzliche Abbildungen mitangeben; und danach
kommst Du dann zum Widerspruch, indem Du Sätze beachtest, die Dir
sagen, dass Verknüpfungen injektiver/surjektiver/bijektiver Abbildungen
auch wieder .../.../... sind...
Allerdings wird das Ganze nicht viel anders aussehen (können), wie mit der
Argumentation, dass man die Anzahl der Elemente endlicher(!) Mengen
auch konkret hinschreiben kann...
> Dadurch kann nicht jedes Element der Zielmenge durch
> mindestens ein Element der Definitionsmenge erreicht
> werden
>
> > 3) Sind Abbildungen [mm]\IN \to \IN[/mm] automatisch bijektiv?
>
>
> nein nur weil die Definitions- und Zielmenge aus dem selben
> Zahlbereich bestehen, heißt es nicht das jedes Element der
> Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet
> wird.
Ja. Nebenbei mal eine andere nichtsurjektive (aber injektive) Abbildung
[mm] $\IN \to \IN$ [/mm] (Dir wurde ja schon die "Quadratfunktion" genannt):
Es sei $p [mm] \colon \IN \to \IN$ [/mm] so, dass $p(k)$ die [mm] $k\,$-te [/mm] Primzahl bezeichne, es ist
also
[mm] $p(1)=2\,,$ $p(2)=3\,,$ $p(3)=5\,,$ $p(4)=7\,,$ $p(5)=11\,,$ [/mm] ...
Gruß,
Marcel
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Man denke sich bei einer Abbildung f Pfeile von den Elementen x der Definitionsmenge auf die Elemente y der Zielmenge gezeichnet, wenn f(x) = y gilt. Von jedem Element der Definitionsmenge führt genau ein Pfeil weg (Eindeutigkeit der Abbildungsvorschrift). Weiter kann man sagen:
[mm]f[/mm] injektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge endet höchstens ein Pfeil
[mm]f[/mm] surjektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge endet mindestens ein Pfeil
[mm]f[/mm] bijektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge endet genau ein Pfeil.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 04.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leopold,
> Man denke sich bei einer Abbildung f Pfeile von den
> Elementen x der Definitionsmenge auf die Elemente y der
> Zielmenge gezeichnet, wenn f(x) = y gilt. Von jedem Element
> der Definitionsmenge führt genau ein Pfeil weg
> (Eindeutigkeit der Abbildungsvorschrift). Weiter kann man
> sagen:
>
> [mm]f[/mm] injektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge
> endet höchstens ein Pfeil
>
> [mm]f[/mm] surjektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge
> endet mindestens ein Pfeil
>
> [mm]f[/mm] bijektiv [mm]\Leftrightarrow[/mm] Auf jedem Element der Zielmenge
> endet genau ein Pfeil.
solange die Mengen ENDLICH sind, ist das okay. Spätestens bei überabzählbaren
Mengen versagt aber wenigstens bei mir da die Vorstellung - eigentlich
sogar schon bei abzählbar unendlichen (sofern nicht eine der beiden
endlich ist).
Gruß,
Marcel
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