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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Do 06.10.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Seien [mm] $R_1,R_2,S_1,S_2$ [/mm] Mengen, so dass [mm] $R_1 \subseteq R_2, [/mm] S1 [mm] \subseteq S_2$.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Falls eine injektive Funktion von [mm] $R_2$ [/mm] nach [mm] $S_1$ [/mm] existiert, dann existiert auch eine injektive Funktion von [mm] $R_1$ [/mm] nach [mm] $S_2$.
[/mm]
b) Falls [mm] $R_1 \not= \emptyset$ [/mm] und es existiert eine surjektive Funktion von [mm] $R_1$ [/mm] nach [mm] $S_2$ [/mm] existiert, dann existiert auch eine surjektive Funktion von [mm] $R_2$ [/mm] nach [mm] $S_1$. [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass die Umkehrfunktion einer injektiven Funktion injektiv ist. Ich weiß auch, dass es zu einer injektiven (bzw. surjektiven) Funktion f eine Umkehrfunktion g existiert, so dass $f [mm] \circ [/mm] g = id$ (bzw. $g [mm] \circ [/mm] f = id$)
Nun weiß ich nur leider nicht, wie ich die obigen Behauptungen der Aufgabe beweisen kann, da dies ja nicht einfach die Umkehrfunktionen sind.
Ich könnte wetten, dass die Lösungsidee zu obiger Aufgabe total einfach ist :D
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
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Hallo Mija,
Du denkst zu kompliziert.
> Seien [mm]R_1,R_2,S_1,S_2[/mm] Mengen, so dass [mm]R_1 \subseteq R_2, S1 \subseteq S_2[/mm].
>
> Zeigen Sie:
> a) Falls eine injektive Funktion von [mm]R_2[/mm] nach [mm]S_1[/mm]
> existiert, dann existiert auch eine injektive Funktion von
> [mm]R_1[/mm] nach [mm]S_2[/mm].
> b) Falls [mm]R_1 \not= \emptyset[/mm] und es existiert eine
> surjektive Funktion von [mm]R_1[/mm] nach [mm]S_2[/mm] existiert, dann
> existiert auch eine surjektive Funktion von [mm]R_2[/mm] nach [mm]S_1[/mm].
>
> Hallo,
>
> ich weiß, dass die Umkehrfunktion einer injektiven
> Funktion injektiv ist. Ich weiß auch, dass es zu einer
> injektiven (bzw. surjektiven) Funktion f eine
> Umkehrfunktion g existiert, so dass [mm]f \circ g = id[/mm] (bzw. [mm]g \circ f = id[/mm])
Hm. Das brauchst Du beides nicht, scheint mir.
> Nun weiß ich nur leider nicht, wie ich die obigen
> Behauptungen der Aufgabe beweisen kann, da dies ja nicht
> einfach die Umkehrfunktionen sind.
> Ich könnte wetten, dass die Lösungsidee zu obiger
> Aufgabe total einfach ist :D
Ja. Mal mal ein paar Bildchen, also Venndiagramme und Zuordnungen.
Auch die Unterscheidung zwischen Definitionsmenge und Wertemenge hilft als Denkanstoß.
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte!
Komm, das schaffst Du selbst. Es ist nicht schwierig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 06.10.2011 | | Autor: | Mija |
Basiert der Beweis einfach darauf, dass ja [mm] $R_1 \subseteq R_2$ [/mm] und [mm] $S_1 \subseteq S_2$ [/mm] ?
Also im injektiven Fall: Wenn x und y in [mm] $R_1$ [/mm] liegen, dann liegen sie ja auch in [mm] $R_2$. [/mm] Und im Wertebreich liegen $F(x)$ und $F(y)$ dann in [mm] $S_1$, [/mm] welche ja Teilmenge von [mm] $S_2$ [/mm] ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Basiert der Beweis einfach darauf, dass ja [mm]R_1 \subseteq R_2[/mm]
> und [mm]S_1 \subseteq S_2[/mm] ?
> Also im injektiven Fall: Wenn x und y in [mm]R_1[/mm] liegen, dann
> liegen sie ja auch in [mm]R_2[/mm].
Ja. Ist [mm] $f:R_2 \to S_1$ [/mm] injektiv, so def. [mm] $g:R_1 \to S_2 [/mm] $ durch: g(r):=f(r) (r [mm] \in R_1)
[/mm]
> Und im Wertebreich liegen [mm]F(x)[/mm]
> und [mm]F(y)[/mm] dann in [mm]S_1[/mm], welche ja Teilmenge von [mm]S_2[/mm] ist
Ja
FRED
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