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Hallo ich habe mal eine wichtige Frage. Ich soll an einer ziemlich einfachen Funktion f:{-2,-1,0,1,2} [mm] \to \IN, [/mm] n [mm] \to n^{2} [/mm] gucken, ob diese injektiv und/oder surjektiv ist.
injektiv: Das ist die Funktion nicht, da z.B. gilt f(-2)=f(2)=4. Und das darf ja nicht gelten. Anders ausgedrückt, da die Funktion für negative x aus dem Defininitionsbereich zunächst monoton abnimmt und dann für positive x aus dem Definitionsbereich monoton zunimmt, ist sie nicht auf ganz [mm] \IN [/mm] streng monoton und somit auch nicht injektiv.
surjektiv: Das bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, also mindestens ein Urbild hat. Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein. Wie gehe ich hier jetzt am besten vor?
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Schau dir mal deine Zielmenge an. Welche Elemente umfasst sie? Ich liefere dir mal eine Definition:
$X [mm] \rightarrow [/mm] Y, x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$ sei eine Abbildung
Surjektiv bedeutet, jedes $y [mm] \in [/mm] Y$ wird mindestens einmal angenommen. Und nun lege mal deine Funktion darüber. Ist sie surjektiv?
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Also gut dann würde ich sagen, dass die Funktion nicht surjektiv ist, da ja z.B. mit dem Definitionsbereich {-2,-1,0,1,2} [mm] \to \IN [/mm] mit der Funktion n [mm] \to n^{2}
[/mm]
meine 3 als Wertebereich garnicht getroffen wird. Soll heißen, f(-2)=4, f(-1)=1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4. Daraus folgt, dass [mm] f^{-1}(3)=\emptyset
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Injektiv :
[mm] \forall x_1,x_2\in [/mm] Definitionsbereich , mit [mm] x_1\not=x_2 [/mm] gilt : [mm] f(x_1)\not=f(x_2)
[/mm]
> f(-2)=4=f(2)
Das ist also ein Gegenbeispiel.
Surjektiv:
[mm] \forall y\in [/mm] Zielmenge [mm] \exists x\in [/mm] Definitionsbereich mit f(x)=y
> $ [mm] f^{-1}(3)=\emptyset [/mm] $
Genau.
Ciao.
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Alles klar ich danke euch.
Gruß domenigge135
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 28.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo ich habe mal eine wichtige Frage. Ich soll an einer
> ziemlich einfachen Funktion f:{-2,-1,0,1,2} [mm]\to \IN,[/mm] n [mm]\to n^{2}[/mm]
> gucken, ob diese injektiv und/oder surjektiv ist.
>
> injektiv: Das ist die Funktion nicht, da z.B. gilt
> f(-2)=f(2)=4. Und das darf ja nicht gelten.
Genau.
> Anders
> ausgedrückt, da die Funktion für negative x aus dem
> Defininitionsbereich zunächst monoton abnimmt und dann für
> positive x aus dem Definitionsbereich monoton zunimmt, ist
> sie nicht auf ganz [mm]\IN[/mm] streng monoton und somit auch nicht
> injektiv.
So kannst du hier so gar nicht argumentieren! Schau dir z.B. folgende Funktion an: $g : [mm] \IZ \to \IN$, [/mm] $x [mm] \mapsto \begin{cases} 2 x & \text{wenn } x \ge 0, \\ -2 x + 1 & \text{wenn } x < 0 \end{cases}$. [/mm] Dann nimmt $g$ monoton zu fuer positive $x$, und monoton ab fuer negative $x$, und ist trotzdem injektiv. (Sogar bijektiv.)
LG Felix
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