inhomogenes lineares DGL-Syst. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 25.10.2010 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine Lösung des linearen inhomogenen DGL-Systems:
x'=y
[mm] y'=x+e^t+e^{-t} [/mm] |
Hallo irgendwie komme ich mal wieder nicht auf das richtige Ergebnis.
Wäre sehr dankbar, wenn mal jemand einen Blick auf meine Rechnung werfen könnte. Habe bei der speziellen Lösung etwas anderes heraus.
Mein Ansatz:
[mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_h}+\overrightarrow{x_s}
[/mm]
Lösung des homogenen Systems:
[mm] \vmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda } [/mm] -> [mm] \lambda_{1,2}=+1,-1 [/mm] -> Aufstellen der Eigenvektoren:
für [mm] \lambda_1:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v_1}=\alpha\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda_2:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v_2}=\beta\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
-> [mm] \overrightarrow{v_h}=c_1\vektor{1 \\ 1}e^t [/mm] + [mm] c_2\vektor{1 \\ -1}e^{-t}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x_s} [/mm] habe ich versucht, mittels VDK zu erhalten:
[mm] \overrightarrow{v_h}=c_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t [/mm] + [mm] c_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v_h}'=c'_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t [/mm] + [mm] c_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t [/mm] + [mm] c'_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t} [/mm] - [mm] c'_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t}
[/mm]
eingesetzt ins System:
[mm] c'_1e^t+c'_2e^-t=0
[/mm]
[mm] c'_1e^t-c'_2e^{-t}=e^t+e^{-t}
[/mm]
-> [mm] c'_1=\bruch{1}{2e^{t}}(e^{t}+e^{-t}) [/mm] -> integrieren:
[mm] c_1=\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}e^{-2t}
[/mm]
[mm] c'_2=-\bruch{1}{2}e^{t}(e^{t}+e^{-t}) [/mm] -> integrieren:
[mm] c_2=-\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}e^{2t}
[/mm]
bedeutet bei mir:
[mm] x_s=\bruch{1}{2}t(e^{-t}-e^t)-\bruch{1}{4}(e^{-t}+e^{t})
[/mm]
[mm] y_s=\bruch{1}{2}t(e^{-t}+e^t)
[/mm]
-> Ergebnisse stimmen nicht, wenn ich [mm] \overrightarrow{x_h} [/mm] und [mm] \overrightarrow{x_s} [/mm] zusammenfasse.
rauskommen muss:
[mm] x=c_1e^{t}+c_2e^{-t}+\bruch{1}{2}t(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
[mm] y=c_1e^{t}-c_2e^{-t}+\bruch{1}{2}t(e^{t}+e^{-t}) +\bruch{1}{2}t(e^{t}-e^{-t})
[/mm]
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
Viele Grüße
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Hallo carl1990,
> Man bestimme die allgemeine Lösung des linearen
> inhomogenen DGL-Systems:
> x'=y
> [mm]y'=x+e^t+e^{-t}[/mm]
> Hallo irgendwie komme ich mal wieder nicht auf das
> richtige Ergebnis.
> Wäre sehr dankbar, wenn mal jemand einen Blick auf meine
> Rechnung werfen könnte. Habe bei der speziellen Lösung
> etwas anderes heraus.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_h}+\overrightarrow{x_s}[/mm]
>
> Lösung des homogenen Systems:
>
> [mm]\vmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda }[/mm] ->
> [mm]\lambda_{1,2}=+1,-1[/mm] -> Aufstellen der Eigenvektoren:
>
> für [mm]\lambda_1:[/mm]
> [mm]\overrightarrow{v_1}=\alpha\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> für
> [mm]\lambda_2:[/mm]
> [mm]\overrightarrow{v_2}=\beta\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> -> [mm]\overrightarrow{v_h}=c_1\vektor{1 \\ 1}e^t[/mm] +
> [mm]c_2\vektor{1 \\ -1}e^{-t}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{x_s}[/mm] habe ich versucht, mittels VDK zu
> erhalten:
>
> [mm]\overrightarrow{v_h}=c_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t[/mm] +
> [mm]c_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{v_h}'=c'_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t[/mm] +
> [mm]c_1(t)\vektor{1 \\ 1}e^t[/mm] + [mm]c'_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t}[/mm] -
> [mm]c'_2(t)\vektor{1 \\ -1}e^{-t}[/mm]
>
> eingesetzt ins System:
>
> [mm]c'_1e^t+c'_2e^-t=0[/mm]
> [mm]c'_1e^t-c'_2e^{-t}=e^t+e^{-t}[/mm]
>
> -> [mm]c'_1=\bruch{1}{2e^{t}}(e^{t}+e^{-t})[/mm] -> integrieren:
> [mm]c_1=\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]c'_2=-\bruch{1}{2}e^{t}(e^{t}+e^{-t})[/mm] -> integrieren:
> [mm]c_2=-\bruch{1}{2}t-\bruch{1}{4}e^{2t}[/mm]
>
> bedeutet bei mir:
>
> [mm]x_s=\bruch{1}{2}t(e^{-t}-e^t)-\bruch{1}{4}(e^{-t}+e^{t})[/mm]
Hier hast Du Dich wohl verschrieben:
[mm]x_s=\bruch{1}{2}t(e^{\blue{+}t}-e^{\blue{-}t})-\bruch{1}{4}(e^{-t}+e^{t})[/mm]
> [mm]y_s=\bruch{1}{2}t(e^{-t}+e^t)[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]y_s=\bruch{1}{2}t(e^{-t}+e^t)+\red{\bruch{1}{4}*\left(e^{t}-e^{-t}\right)}[/mm]
>
> -> Ergebnisse stimmen nicht, wenn ich [mm]\overrightarrow{x_h}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{x_s}[/mm] zusammenfasse.
>
> rauskommen muss:
> [mm]x=c_1e^{t}+c_2e^{-t}+\bruch{1}{2}t(e^{t}-e^{-t})[/mm]
> [mm]y=c_1e^{t}-c_2e^{-t}+\bruch{1}{2}t(e^{t}+e^{-t}) +\bruch{1}{2}t(e^{t}-e^{-t})[/mm]
>
> Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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