inhomogenes Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie die inhomogene Randwertaufgabe [mm] $$u''(x)+u(x)=e^x \mbox{ für } x\in [/mm] [0,1]$$ $$u(0)=u(1)=0$$ |
Guten Tag zusammen,
ich sitze gerade an der Aufgabe und weiß nicht weiter.
Mit Maple habe ich eine Lösung gefunden:
[mm] $u(x)=\frac{1}{2}*\frac{\sin(x)*(\cos(1)-e^1)}{\sin(1)}-\frac{1}{2}*\cos(x)+\frac{1}{2}*e^x$
[/mm]
Auf Grund dieser Ergebnisses denke ich, dass ich mit dem Ansatz mit sin,cos ansetzen kann.
Jedoch weiß ich nicht warum, da ich das ja Begründen muss und wie ich dann weiter verfahre.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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Hallo DudiPupan,
> Lösen Sie die inhomogene Randwertaufgabe [mm]u''(x)+u(x)=e^x \mbox{ für } x\in [0,1][/mm]
> [mm]u(0)=u(1)=0[/mm]
> Guten Tag zusammen,
>
> ich sitze gerade an der Aufgabe und weiß nicht weiter.
> Mit Maple habe ich eine Lösung gefunden:
>
> [mm]u(x)=\frac{1}{2}*\frac{\sin(x)*(\cos(1)-e^1)}{\sin(1)}-\frac{1}{2}*\cos(x)+\frac{1}{2}*e^x[/mm]
>
> Auf Grund dieser Ergebnisses denke ich, dass ich mit dem
> Ansatz mit sin,cos ansetzen kann.
> Jedoch weiß ich nicht warum, da ich das ja Begründen
> muss und wie ich dann weiter verfahre.
>
Als erstes ist die homogene DGL [mm]u''(x)+u(x)=0[/mm] zu lösen.
Danach ermittelst Du eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
[mm]u''(x)+u(x)=e^x[/mm]
Diese beiden Lösungen zusammengesetzt
ergeben die allgemeine Lösung dieser DGL.
Dann kannst Du die Anfangsbedingungen einsetzen,
und so die fehlenden Konstanten berechnen.
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> Dudi
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Hallo DudiPupan,
>
> > Lösen Sie die inhomogene Randwertaufgabe [mm]u''(x)+u(x)=e^x \mbox{ für } x\in [0,1][/mm]
> > [mm]u(0)=u(1)=0[/mm]
> > Guten Tag zusammen,
> >
> > ich sitze gerade an der Aufgabe und weiß nicht weiter.
> > Mit Maple habe ich eine Lösung gefunden:
> >
> >
> [mm]u(x)=\frac{1}{2}*\frac{\sin(x)*(\cos(1)-e^1)}{\sin(1)}-\frac{1}{2}*\cos(x)+\frac{1}{2}*e^x[/mm]
> >
> > Auf Grund dieser Ergebnisses denke ich, dass ich mit dem
> > Ansatz mit sin,cos ansetzen kann.
> > Jedoch weiß ich nicht warum, da ich das ja Begründen
> > muss und wie ich dann weiter verfahre.
> >
>
> Als erstes ist die homogene DGL [mm]u''(x)+u(x)=0[/mm] zu lösen.
>
Okay, das habe ich gemacht.
Für die Lösung habe ich [mm] $u_h(x)=\cos(x)+\frac{\sin(x)*(1-\cos(1)}{\sin(1)}$ [/mm] heraus bekommen.
> Danach ermittelst Du eine partikuläre Lösung der
> inhomogenen DGL
>
> [mm]u''(x)+u(x)=e^x[/mm]
Für diese habe ich die partikuläre Lösung [mm] $u_p(x)=\frac{1}{2}e^x$ [/mm] heraus.
>
> Diese beiden Lösungen zusammengesetzt
> ergeben die allgemeine Lösung dieser DGL.
>
Hiermit wäre die Lösung [mm] $u(x)=u_h(x)+u_p(x)=\cos(x)+\frac{\sin(x)*(1-\cos(1))}{\sin(1)}+\frac{1}{2}e^x$ [/mm] jedoch habe ich hier irgendwie keine fehlenden Konstanten mehr, weshalb ich nicht auf das richtige Ergebnis komme.
Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank
Liebe Grüße
> Dann kannst Du die Anfangsbedingungen einsetzen,
> und so die fehlenden Konstanten berechnen.
>
>
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> > Dudi
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo DudiPupan,
> Hallo MathePower
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> > Hallo DudiPupan,
> >
> > > Lösen Sie die inhomogene Randwertaufgabe [mm]u''(x)+u(x)=e^x \mbox{ für } x\in [0,1][/mm]
> > > [mm]u(0)=u(1)=0[/mm]
> > > Guten Tag zusammen,
> > >
> > > ich sitze gerade an der Aufgabe und weiß nicht weiter.
> > > Mit Maple habe ich eine Lösung gefunden:
> > >
> > >
> >
> [mm]u(x)=\frac{1}{2}*\frac{\sin(x)*(\cos(1)-e^1)}{\sin(1)}-\frac{1}{2}*\cos(x)+\frac{1}{2}*e^x[/mm]
> > >
> > > Auf Grund dieser Ergebnisses denke ich, dass ich mit dem
> > > Ansatz mit sin,cos ansetzen kann.
> > > Jedoch weiß ich nicht warum, da ich das ja
> Begründen
> > > muss und wie ich dann weiter verfahre.
> > >
> >
> > Als erstes ist die homogene DGL [mm]u''(x)+u(x)=0[/mm] zu lösen.
> >
>
> Okay, das habe ich gemacht.
> Für die Lösung habe ich
> [mm]u_h(x)=\cos(x)+\frac{\sin(x)*(1-\cos(1)}{\sin(1)}[/mm] heraus
> bekommen.
>
Die Anfangsbedingungen sind hier noch nicht einzusetzen.
> > Danach ermittelst Du eine partikuläre Lösung der
> > inhomogenen DGL
> >
> > [mm]u''(x)+u(x)=e^x[/mm]
>
> Für diese habe ich die partikuläre Lösung
> [mm]u_p(x)=\frac{1}{2}e^x[/mm] heraus.
> >
> > Diese beiden Lösungen zusammengesetzt
> > ergeben die allgemeine Lösung dieser DGL.
> >
> Hiermit wäre die Lösung
> [mm]u(x)=u_h(x)+u_p(x)=\cos(x)+\frac{\sin(x)*(1-\cos(1))}{\sin(1)}+\frac{1}{2}e^x[/mm]
> jedoch habe ich hier irgendwie keine fehlenden Konstanten
> mehr, weshalb ich nicht auf das richtige Ergebnis komme.
> Wo liegt mein Fehler?
>
>
> Vielen Dank
>
>
> Liebe Grüße
> > Dann kannst Du die Anfangsbedingungen einsetzen,
> > und so die fehlenden Konstanten berechnen.
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > > Liebe Grüße
> > > Dudi
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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