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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 Mi 28.11.2012 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der folgenden inhomogenen Anfangswertaufgabe:
[mm] $$\begin{cases} \dot x_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)+e^{3t}\mbox{ für } t\in\mathbb{R}\\ \dot{x_2}(t)=-x_1(t)+3x_2(t)-1 \mbox{ für } t\in\mathbb{R} \\ x_1(0)=0\\x_2(0)=0\end{cases}$$ [/mm] |
Hallo liebes matheforum,
ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, komme jedoch nicht weiter.
Was ich bis jetzt habe:
[mm] $$A:=\pmat{-1&4\\-1&3}$$ $$b(t):=\pmat{e^{3t}\\-1}$$
[/mm]
Wir berechnen die Eigenvektoren von A:
zunächst charpol:
Wir berechnen [mm] $p(\lambda):=\det{(A-\lambda *I_2)}=\lambda^2-2\lambda [/mm] +1 $
Somit erhalten wir mit der doppelten Nullstelle von [mm] $p(\lambda)$:
[/mm]
[mm] $\lambda=1$
[/mm]
Hier bin ich mir unsicher.
Ich habe gelesen, dass ich hier auf Grund der doppelten Nullstelle mit dem Hauptvektor arbeiten muss:
Es ergibt sich:
[mm] $Ev_{\lambda1}=t*\pmat{2\\1}$ [/mm] und durch den Hauptvektor mit [mm] $(A-I_2)*\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{2\\1}\Rightarrow \pmat{v_1\\v_2}=\pmat{-1\\0}$:
[/mm]
[mm] $Ev_{\lambda2}=\pmat{-1\\0}+t*\pmat{2\\1}$
[/mm]
Hieraus erhalte ich die Wronskimatrix:
[mm] $\pmat{2e^t&-e^t+2te^t\\e^t&te^t}$
[/mm]
Stimmt das bisher?
Diese muss ich dann ja Invertieren und mit $b(t)$ multiplizieren und dann integrieren, etc.
Vielen Dank
Liebste Grüße
DerBaum
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Lösung der folgenden inhomogenen
> Anfangswertaufgabe:
> [mm]\begin{cases} \dot x_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)+e^{3t}\mbox{ für } t\in\mathbb{R}\\ \dot{x_2}(t)=-x_1(t)+3x_2(t)-1 \mbox{ für } t\in\mathbb{R} \\ x_1(0)=0\\x_2(0)=0\end{cases}[/mm]
>
> Hallo liebes matheforum,
>
> ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, komme jedoch
> nicht weiter.
> Was ich bis jetzt habe:
> [mm]A:=\pmat{-1&4\\-1&3}[/mm] [mm]b(t):=\pmat{e^{3t}\\-1}[/mm]
> Wir berechnen die Eigenvektoren von A:
> zunächst charpol:
> Wir berechnen [mm]p(\lambda):=\det{(A-\lambda *I_2)}=\lambda^2-2\lambda +1[/mm]
>
> Somit erhalten wir mit der doppelten Nullstelle von
> [mm]p(\lambda)[/mm]:
> [mm]\lambda=1[/mm]
>
> Hier bin ich mir unsicher.
> Ich habe gelesen, dass ich hier auf Grund der doppelten
> Nullstelle mit dem Hauptvektor arbeiten muss:
>
> Es ergibt sich:
> [mm]Ev_{\lambda1}=t*\pmat{2\\1}[/mm] und durch den Hauptvektor mit
> [mm](A-I_2)*\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{2\\1}\Rightarrow \pmat{v_1\\v_2}=\pmat{-1\\0}[/mm]:
>
> [mm]Ev_{\lambda2}=\pmat{-1\\0}+t*\pmat{2\\1}[/mm]
>
> Hieraus erhalte ich die Wronskimatrix:
> [mm]\pmat{2e^t&-e^t+2te^t\\e^t&te^t}[/mm]
> Stimmt das bisher?
Ja
FRED
>
> Diese muss ich dann ja Invertieren und mit [mm]b(t)[/mm]
> multiplizieren und dann integrieren, etc.
>
> Vielen Dank
>
> Liebste Grüße
> DerBaum
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 28.11.2012 | | Autor: | DerBaum |
> > Berechnen Sie die Lösung der folgenden inhomogenen
> > Anfangswertaufgabe:
> > [mm]\begin{cases} \dot x_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)+e^{3t}\mbox{ für } t\in\mathbb{R}\\ \dot{x_2}(t)=-x_1(t)+3x_2(t)-1 \mbox{ für } t\in\mathbb{R} \\ x_1(0)=0\\x_2(0)=0\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo liebes matheforum,
> >
> > ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, komme jedoch
> > nicht weiter.
> > Was ich bis jetzt habe:
> > [mm]A:=\pmat{-1&4\\-1&3}[/mm] [mm]b(t):=\pmat{e^{3t}\\-1}[/mm]
> > Wir berechnen die Eigenvektoren von A:
> > zunächst charpol:
> > Wir berechnen [mm]p(\lambda):=\det{(A-\lambda *I_2)}=\lambda^2-2\lambda +1[/mm]
>
> >
> > Somit erhalten wir mit der doppelten Nullstelle von
> > [mm]p(\lambda)[/mm]:
> > [mm]\lambda=1[/mm]
> >
> > Hier bin ich mir unsicher.
> > Ich habe gelesen, dass ich hier auf Grund der doppelten
> > Nullstelle mit dem Hauptvektor arbeiten muss:
> >
> > Es ergibt sich:
> > [mm]Ev_{\lambda1}=t*\pmat{2\\1}[/mm] und durch den Hauptvektor
> mit
> > [mm](A-I_2)*\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{2\\1}\Rightarrow \pmat{v_1\\v_2}=\pmat{-1\\0}[/mm]:
>
> >
> > [mm]Ev_{\lambda2}=\pmat{-1\\0}+t*\pmat{2\\1}[/mm]
> >
> > Hieraus erhalte ich die Wronskimatrix:
> > [mm]\pmat{2e^t&-e^t+2te^t\\e^t&te^t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Stimmt das bisher?
>
> Ja
>
> FRED
Hallo FRED,
vielen Dank für deine Antwort.
Gut, das freut mich, dass ich schon mal auf dem richtigen Weg bin.
Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
Die Wronskimatrix $W(t)$ ist dann ja:
$$W(t)=\pmat{2e^t&2te^t\\e^t&te^t}$$
$$\Rightarrow W^{-1}(t)=\frac{1}{e^{2t}}\pmat{te^t&2e^t-2te^t\\-e^t&2e^t}=\pmat{\frac{t}{e^t}&\frac{1-2t}{e^t}\\ -\frac{1}{e^t}&\frac{2}{e^t}}$$
Somit:$$C(t):=\int{W^{-1}(t)*b(t)\; dt = \pmat{(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}t)e^{2t}-\frac{1+2t}{e^t}+C_1\\\frac{2}{e^t}-\frac{1}{2}e^{2t}+C_2}$$
Daraus folgt: $$x=W(t)*C(t)=\pmat{-4+2C_1e^t-C_2e^t+2C_2te^t\\-\frac{1}{4}e^{2t}-1+C_1e^t+C_2te^t}$$
Mit den Anfangswerten ergibt sich für $C_1,C_2$:
$C_1=\frac{5}{4},C_2=-\frac{3}{2}$
Und somit die Lösung:
$x=\pmat{e^t(4-6t)-4\\e^t(-\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{5}{4}-\frac{3}{2}t)-1}$
Wenn ich das jedoch einsetze, passt das nicht.
Ich habe meinen Fehler aber bis jetzt nicht gefunden.
Weiß jemand, was ich falsch gemacht habe?
vielen Dank
Liebste Grüße
DerBaum
> >
> > Diese muss ich dann ja Invertieren und mit [mm]b(t)[/mm]
> > multiplizieren und dann integrieren, etc.
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebste Grüße
> > DerBaum
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechnen Sie die Lösung der folgenden inhomogenen
> > > Anfangswertaufgabe:
> > > [mm]\begin{cases} \dot x_1(t)=-x_1(t)+4x_2(t)+e^{3t}\mbox{ für } t\in\mathbb{R}\\ \dot{x_2}(t)=-x_1(t)+3x_2(t)-1 \mbox{ für } t\in\mathbb{R} \\ x_1(0)=0\\x_2(0)=0\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo liebes matheforum,
> > >
> > > ich bearbeite gerade die folgende Aufgabe, komme jedoch
> > > nicht weiter.
> > > Was ich bis jetzt habe:
> > > [mm]A:=\pmat{-1&4\\-1&3}[/mm] [mm]b(t):=\pmat{e^{3t}\\-1}[/mm]
> > > Wir berechnen die Eigenvektoren von A:
> > > zunächst charpol:
> > > Wir berechnen [mm]p(\lambda):=\det{(A-\lambda *I_2)}=\lambda^2-2\lambda +1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Somit erhalten wir mit der doppelten Nullstelle von
> > > [mm]p(\lambda)[/mm]:
> > > [mm]\lambda=1[/mm]
> > >
> > > Hier bin ich mir unsicher.
> > > Ich habe gelesen, dass ich hier auf Grund der
> doppelten
> > > Nullstelle mit dem Hauptvektor arbeiten muss:
> > >
> > > Es ergibt sich:
> > > [mm]Ev_{\lambda1}=t*\pmat{2\\1}[/mm] und durch den
> Hauptvektor
> > mit
> > > [mm](A-I_2)*\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{2\\1}\Rightarrow \pmat{v_1\\v_2}=\pmat{-1\\0}[/mm]:
>
> >
> > >
> > > [mm]Ev_{\lambda2}=\pmat{-1\\0}+t*\pmat{2\\1}[/mm]
> > >
> > > Hieraus erhalte ich die Wronskimatrix:
> > > [mm]\pmat{2e^t&-e^t+2te^t\\e^t&te^t}[/mm]
> > > Stimmt das bisher?
> >
> > Ja
> >
> > FRED
> Hallo FRED,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Gut, das freut mich, dass ich schon mal auf dem richtigen
> Weg bin.
> Ich habe dann wie folgt weiter gemacht:
>
> Die Wronskimatrix [mm]W(t)[/mm] ist dann ja:
> [mm]W(t)=\pmat{2e^t&2te^t\\e^t&te^t}[/mm]
> [mm]\Rightarrow W^{-1}(t)=\frac{1}{e^{2t}}\pmat{te^t&2e^t-2te^t\\-e^t&2e^t}=\pmat{\frac{t}{e^t}&\frac{1-2t}{e^t}\\ -\frac{1}{e^t}&\frac{2}{e^t}}[/mm]
Hä ? oben hatten wir $ [mm] \pmat{2e^t&-e^t+2te^t\\e^t&te^t} [/mm] $
FRED
>
> Somit:[mm]C(t):=\int{W^{-1}(t)*b(t)\; dt = \pmat{(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}t)e^{2t}-\frac{1+2t}{e^t}+C_1\\\frac{2}{e^t}-\frac{1}{2}e^{2t}+C_2}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> [mm]x=W(t)*C(t)=\pmat{-4+2C_1e^t-C_2e^t+2C_2te^t\\-\frac{1}{4}e^{2t}-1+C_1e^t+C_2te^t}[/mm]
> Mit den Anfangswerten ergibt sich für [mm]C_1,C_2[/mm]:
> [mm]C_1=\frac{5}{4},C_2=-\frac{3}{2}[/mm]
> Und somit die Lösung:
>
> [mm]x=\pmat{e^t(4-6t)-4\\e^t(-\frac{1}{4}e^{2t}+\frac{5}{4}-\frac{3}{2}t)-1}[/mm]
> Wenn ich das jedoch einsetze, passt das nicht.
> Ich habe meinen Fehler aber bis jetzt nicht gefunden.
> Weiß jemand, was ich falsch gemacht habe?
>
> vielen Dank
>
> Liebste Grüße
> DerBaum
> > >
> > > Diese muss ich dann ja Invertieren und mit [mm]b(t)[/mm]
> > > multiplizieren und dann integrieren, etc.
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebste Grüße
> > > DerBaum
> >
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