inhomogene lineare DGL 2.Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y''-2y'-8y=6*e^{4x}
[/mm]
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1.homogone Lösung:
[mm] \lambda^2-2*\lambda-8=0
[/mm]
[mm] \lambda_1=4 [/mm] und [mm] \lambda_2=-2
[/mm]
[mm] y_h=C_1*e^{4x}+C_2*e^{-2x} [/mm]
2.inhomogene Lösung:
Lösungsansatz für [mm] y_p=Ax*e^{4x} [/mm] (Papula S.275)
(c=4 ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung)
Bestimmung der Konstanten A:
[mm] y_p= Ax*e^{4x}
[/mm]
[mm] y'_p=(A+4Ax)*e^{4x} [/mm]
[mm] y''_p=(8A+16Ax)*e^{4x} [/mm]
einsetzen von [mm] y_p [/mm] , y'_p und y''_p in die DGL ergibt.
A=1
einsetzen von A in [mm] y_p=Ax*e^{4x} [/mm] ergibt die partikuläre Lösung
[mm] y_p=x*e^{4x}
[/mm]
3.allgemeine Lösung
[mm] y=y_h [/mm] + [mm] y_p
[/mm]
[mm] y=C_1*e^{4x}+C_2*e^{-2x}+x*e^{4x}
[/mm]
was ich nicht verstehe ist wieso nur mit [mm] \lambda=4 [/mm] gerechnet wird und [mm] \lambda=-2 [/mm] nicht beachtet wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 27.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
(Ich hage diese Beitrag aus der Numerik ins Forum über gewöhnliche DGLen verschoben.)
> [mm]y''-2y'-8y=6*e^{4x}[/mm]
>
>
> 1.homogone Lösung:
>
> [mm]\lambda^2-2*\lambda-8=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=4[/mm] und [mm]\lambda_2=-2[/mm]
>
> [mm]y_h=C_1*e^{4x}+C_2*e^{-2x}[/mm]
>
>
> 2.inhomogene Lösung:
>
> Lösungsansatz für [mm]y_p=Ax*e^{4x}[/mm] (Papula S.275)
>
> (c=4 ist eine einfache Lösung der charakteristischen
> Gleichung)
>
> Bestimmung der Konstanten A:
>
> [mm]y_p= Ax*e^{4x}[/mm]
>
> [mm]y'_p=(A+4Ax)*e^{4x}[/mm]
>
> [mm]y''_p=(8A+16Ax)*e^{4x}[/mm]
>
> einsetzen von [mm]y_p[/mm] , y'_p und y''_p in die DGL ergibt.
>
> A=1
>
> einsetzen von A in [mm]y_p=Ax*e^{4x}[/mm] ergibt die partikuläre
> Lösung
>
> [mm]y_p=x*e^{4x}[/mm]
>
>
> 3.allgemeine Lösung
>
> [mm]y=y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]
>
> [mm]y=C_1*e^{4x}+C_2*e^{-2x}+x*e^{4x}[/mm]
>
>
> was ich nicht verstehe ist wieso nur mit [mm]\lambda=4[/mm]
> gerechnet wird und [mm]\lambda=-2[/mm] nicht beachtet wird.
In der Lösung der homogenen DGL steht der Term ja drin. In der inhomogenen DGL taucht der Term mit [mm] $e^{-2x}$ [/mm] auf der rechten Seite nicht auf, daher wird er auch nicht berücksichtigt.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mi 27.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
aaaaaaaachsoooooooo , ja das ist jetzt einleuchtend. danke
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