inhomogene DGL erster Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde möglichst alle Lösungen der folgenden linearen inhomogenen Differentialgleichungen erster Ordnung in x. Löse dazu zuerst die entsprechenden homogenen Differentialgleichungen und variiere anschließend die Konstanten.
b) [mm] y'(x)= \lambda y(x) + \bruch{\lambda^{n+1} x^{n}}{n!} [/mm]
mit n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \lambda \in \IR [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe auf den ersten Seiten und per Suchfunktion keinen Thread gefunden, der diese Aufgabe behandelt. Daher hier meine Frage:
Aufgabe 1
[mm] y'(x)= \lambda y(x) + \bruch{\lambda^{n+1} x^{n}}{n!} [/mm]
Für den homogenen Teil komme ich auf folgende Gleichung [mm] y= e^{\lambda x} [/mm] c mit c [mm] \in \IR [/mm]
Für c'(x) folgt daraus:
[mm]c'(x)= e^{-\lambda x} \bruch{\lambda^{n} x^{n}}{n!} [/mm]
Das Integral über die rechte Seite bereitet mir Schwierigkeiten.
Ich habe versucht [mm] t=\lambda x [/mm] zu substituieren:
[mm]\integral_{}^{}{e^{-t} t^{n}dt} [/mm], komme damit aber nicht so richtig weiter, da ich n-mal integrieren müsste.
Alternativ sieht [mm]\bruch{x^{n}}{n!} [/mm] stark nach der Exponentialreihe aus, wüsste ab hier aber auch nicht weiter.
Über eine Tipp oder neuen Anstoß würde ich mich sehr freuen.
Liebe Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mi 08.11.2017 | | Autor: | Martinius |
Hallo Thomas0086,
hast Du schon bei Wolfram alpha geguckt?
![[]](/images/popup.gif) Wolfram
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
Danke für deine Antwort. Auf Wolfram bin ich auch schon gestoßen, allerdings verstehe ich den Zusammenhang bzw. den Rechenschritt zur Gamma-Funktion nicht so recht, da mit diese bisher unbekannt ist/war.
Von
[mm] c'(x)= e^{-\lambda x} \bruch{\lambda^{n} x^{n}}{n!} [/mm] ausgehend:
Die Substitution
[mm] t=\lambda x [/mm] führt zu [mm] dx = dt/\lambda [/mm] und damit zu
[mm] \bruch{1}{n!\lambda} \integral_{}^{}{e^{-t} t^n dt} [/mm]
Über die partielle Integration komme ich auf:
[mm] \bruch{1}{n!\lambda}[-e^{t}t^{n} + n\integral_{}^{}{e^{-t} t^{n-1} dt}] [/mm]
Bei Wolfram steht, dass dies die "incomplete gamma function" sei. Laut Definition der Gamma Funktion wäre das Integral, da unbestimmt, allerdings die Gammafunktion.
Oder kommt hier zum tragen, dass [mm] \lambda \not= 0 [/mm] sein muss?
Danke schön.
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 09.11.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde versuchen noch die 2 nächsten Interaktionen zu machen dann siehst du wie es läuft und hast für n eine endliche Reihe.
Gruß ledum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 12.11.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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