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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Man bestimme die allg. Lösungen der Differenzengleichungen
x(n+1) = 4 x(n) - 4 x(n-1) + [mm] n*3^n [/mm] |
Hallo!
Was ich bei Aufgaben dieser Art nicht verstehe, ist der Ansatz:
Partikulärlösung durch Ansatz in Form der rechten Seite:
[mm] x_{p}(n) [/mm] = (an+b) * [mm] 3^n
[/mm]
Wie kommt man darauf? Bei Differenzengleichungen wie:
y(n+2) - 6y(n+1) +8y(n) = 9n² -8
ist es mir klar. Da ist ja der Ansatz in Form der rechten Seite immer:
[mm] y^{p}_{n} [/mm] = an² + bn + c
richtig?
Vielen Dank im voraus!
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Hallo,
> Man bestimme die allg. Lösungen der Differenzengleichungen
>
> [mm] $x_{(n+1)} [/mm] = 4 [mm] x_{(n)} [/mm] - 4 [mm] x_{(n-1)} [/mm] + [mm] n*3^n$
[/mm]
> Hallo!
> Was ich bei Aufgaben dieser Art nicht verstehe, ist der
> Ansatz:
>
> Partikulärlösung durch Ansatz in Form der rechten Seite:
>
> [mm]x_{p}(n)[/mm] = (an+b) * [mm]3^n[/mm]
>
> Wie kommt man darauf? Bei Differenzengleichungen wie:
>
> y(n+2) - 6y(n+1) +8y(n) = 9n² -8
>
> ist es mir klar. Da ist ja der Ansatz in Form der rechten
> Seite immer:
>
> [mm]y^{p}_{n}[/mm] = an² + bn + c
>
> richtig?
>
> Vielen Dank im voraus!
Dein partikulärer Lösungsansatz von bspw. der Variablen n in der r-ten Potenz ist immer ein Polynom r-ten Grades, mit zu bestimmenden Koeffizienten - auch wenn diese Potenz nicht als Summand sondern als Faktor auftaucht.
n als Faktor bedeutet einen partikulären Lösungsansatz von (An+B).
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Torboe |
öh danke... aber kann man das auch in verständlicheren worten ausdrücken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Torboe |
oder war eigentlich doch passend erklärt :). ich glaub jetzt hab ichs begriffen.
also das was rechts steht ist einfach genauso ein polynom wie sonst, nur eben statt n² (was einen an²+bn+c ansatz zur folge hätte) steht hier n (was den ansatz an+b bedeutet). so gesehen hätt ich bei einer rechten seite von 3 einen ansatz von c oder?
bleibt nur noch die frage wie das mit dem [mm] 3^n [/mm] gehandhabt wird. multipliziere ich das produkt dann generell mit dem polynom im ansatz? also einfach überlegen... rang vom polynom: 1 - also (an+b) und dann noch [mm] *3^n [/mm] und dann steht da [mm] (an+b)*3^n??
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
Ja.
LG, Martinius
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Hallo,
Bsp.
[mm] ...+n^1 [/mm] p. Ansatz: A*n+B (Polynom 1. Grades).
[mm] ....+n^2 [/mm] p.Ansatz: [mm] An^2+Bn+C [/mm] (Polynom 2. Grades)
[mm] ....+n^3 [/mm] p. Ansatz: [mm] An^3+Bn^2+Cn+D [/mm] (Polynom 3. Grades)
etc.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Torboe |
alles klar. dankeschön :).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Man bestimme die allg. Lösungen der Differenzengleichungen
x(n+1) = 4 x(n) - 4 x(n-1) + $ [mm] n\cdot{}3^n [/mm] $ |
ok. der ansatz ist jetzt klar. aber der nächste schritt ist mir wieder unklar.
dieser lautet:
(an+a+b) * 3^(n+1) = [mm] 4(an+b)*3^n [/mm] -4(an-a+b)*3^(n-1) [mm] +n*3^n
[/mm]
ich würde gern ein paar ansätze schreiben... aber mir ist momentan noch alles davon unklar :/. ich hoffe mir kann jmd helfen.
danke schonmal!
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Hallo,
> Man bestimme die allg. Lösungen der Differenzengleichungen
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> x(n+1) = 4 x(n) - 4 x(n-1) + [mm]n\cdot{}3^n[/mm]
> ok. der ansatz ist jetzt klar. aber der nächste schritt
> ist mir wieder unklar.
>
> dieser lautet:
>
> $(an+a+b) * [mm] 3^{n+1} [/mm] = [mm] 4(an+b)*3^n -4(an-a+b)*3^{n-1}+n*3^n$
[/mm]
>
> ich würde gern ein paar ansätze schreiben... aber mir ist
> momentan noch alles davon unklar :/. ich hoffe mir kann jmd
> helfen.
>
> danke schonmal!
Das sieht doch schon einmal gut aus.
Nun bringe alle Terme mit zu bestimmenden Koeffizienten auf eine Seite und dividiere durch [mm] 3^n:
[/mm]
$(an+a+b) * [mm] 3^{n+1} [/mm] = [mm] 4(an+b)*3^n -4(an-a+b)*3^{n-1}+n*3^n$
[/mm]
$(an+a+b) * [mm] 3^{n+1}- 4(an+b)*3^n +4(an-a+b)*3^{n-1}=n*3^n$
[/mm]
$3(an+a+b)- 4(an+b) [mm] +\bruch{4}{3}(an-a+b)=n$
[/mm]
$9(an+a+b)- 12(an+b) +4(an-a+b)=3n$
Nun vereinfache die linke Seite durch Zusammenfassen und mache einen Koeffizientenvergleich.
LG, Martinius
P.S. Einen Exponenten bitte in Mengenklammern {} einschließen.
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