induziert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Sa 06.05.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Berrechnen sie eine darstellende Matrix des durch [mm] l_Aß\in End_\IR(\IR^4) [/mm] induzierten Endomorphismus von [mm] \IR4/E_A(3)
[/mm]
A= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 4 } [/mm] |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, kann mit der aufgabe leider nicht viel anfangen, weil ich gar nicht weiß um welche Abb. es geht. Was muss man eigentlich genau machen, wenn das Wort "induziert" auftaucht bzw. was bedeutet es genau und wie kommt man dann auf eine Abb. ?
wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen kann..
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Berrechnen sie eine darstellende Matrix des durch [mm]l_Aß\in End_\IR(\IR^4)[/mm]
> induzierten Endomorphismus von [mm]\IR4/E_A(3)[/mm]
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 4 }[/mm]
>
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey leute, kann mit der aufgabe leider nicht viel anfangen,
> weil ich gar nicht weiß um welche Abb. es geht. Was muss
> man eigentlich genau machen, wenn das Wort "induziert"
> auftaucht bzw. was bedeutet es genau und wie kommt man dann
> auf eine Abb. ?
Also: Die Matrix $A$ gibt ja eine Abbildung [mm] $\IR^4 \to \IR^4$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] A x$.
Damit die Abbildung $A$ eine Abbilung $A' : [mm] \IR^4/E_A(3) \to \IR^4/E_A(3)$ [/mm] induziert, musst [mm] $E_A(3) \subseteq \ker [/mm] A$ sein! Dann kannst du naemlich $A'$ so definieren: $A'(v + [mm] E_A(3)) [/mm] = (A v) + [mm] E_A(3)$ [/mm] fuer alle $v [mm] \in \IR^4$. [/mm] (Das ist im Prinzip der Homomorphiesatz!)
Diese induzierte Abbildung $A'$ ist wieder linear, hat also eine Darstellungsmatrix. Du musst dir also eine Basis von [mm] $\IR^4/E_A(3)$ [/mm] nehmen (bzw. die vorgegebene, falls es so eine gibt) und dann `ganz gewoehnlich' die Darstellungsmatrix bzgl. dieser ausrechnen!
Das kannst du so machen: Ist [mm] $v_1 [/mm] + [mm] E_A(3), \dots, v_k E_A(3)$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^4/E_A(3)$ [/mm] mit [mm] $v_1, \dots, v_k \in \IR^4$ [/mm] und $k = [mm] \dim \IR^4/E_A(3) [/mm] = [mm] \dim \IR^4 [/mm] - [mm] \dim E_A(3) [/mm] = 4 - [mm] \dim E_A(3)$, [/mm] so gibt es Vektoren [mm] $v_{k+1}, \dots, v_4 \in E_A(3)$ [/mm] mit [mm] $v_1, \dots, v_4$ [/mm] Basis von [mm] $\IR^4$ [/mm] (im Prinzip der Basisergaenzungssatz).
Nun ist ja [mm] $A'(v_i [/mm] + [mm] E_A(3)) [/mm] = (A [mm] v_i) [/mm] + [mm] E_A(3)$. [/mm] Wenn du nun $A [mm] v_i [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^4 \lambda_j v_j$ [/mm] schreibst (ganz normal in [mm] $\IR^4$), [/mm] dann gilt $(A [mm] v_i) [/mm] + [mm] E_A(3) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^4 \lambda_j (v_j [/mm] + [mm] E_A(3))$, [/mm] und da [mm] $v_{k+1} [/mm] + [mm] E_A(3), \dots, v_4 [/mm] + [mm] E_A(3)$ [/mm] in [mm] $V/E_A(3)$ [/mm] gleich $0$ sind, ist also $(A [mm] v_i) [/mm] + [mm] E_A(3) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^k \lambda_j (v_j [/mm] + [mm] E_A(3))$, [/mm] also hast du damit die Eintraege fuer die Darstellungsmatrix!
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:19 So 07.05.2006 | | Autor: | AriR |
hi felix. schonmal vielen dank für deine ausführliche antwort.
kurz vorweg vielleicht nochmal die frage: hast du vielleicht die Definition für das wort induziert, oder wird das nur in diesem zusammenhang gebraucht?
nun zur eigentlich aufgabe.
also ich habe als basis für [mm] \IR^4/E_A(3) [/mm] : [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+E_A(3)
[/mm]
wenn ich denn jetzt mit [mm] l_A' [/mm] also diese durch A induzierte Funktion abbilde
erhalte ich [mm] \vektor{ 2 \\ 0 \\ -1 \\ -1 }+E_A(3)
[/mm]
das habe ich dann umgeschrieben zu: [mm] 3*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }-\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }-\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }+E_A(3)
[/mm]
[mm] E_A(3)=<\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 },\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }>
[/mm]
und dann habe ich [mm] 3*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }-\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }-\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }+E_A(3) [/mm] umgeschrieben zu
[mm] 3*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+E_A(3) [/mm] da [mm] -\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }-\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] in [mm] E_A(3) [/mm] enhalten sind.
demnach wäre dann ja
[mm] \vektor{ 2 \\ 0 \\ -1 \\ -1 }+E_A(3) [/mm] als Linearkombination der basis wieder [mm] 3*\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }+E_A(3) [/mm] oder?
dann hätte ich ja nur eine einelmentige matrix (3) was aber irgendwie nicht kann oder?
wäre nett, wenn du mir nochmal helfen könntest.
Gruß Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
Da ist beim Schreiben des Artikels wohl was schiefgegangen. Kannst du das bitte reparieren so dass es etwas lesbarer ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 10.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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