induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 21.10.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | es sei [mm] (P_n)n \in \IN [/mm] eine Familie von Aussagen, welche folgende Eigenschaft hat:
a) [mm] P_1 [/mm] ist wahr
b) Falls alle [mm] P_k [/mm] für 1 [mm] \le k\le [/mm] n wahr sind, so auch [mm] P_{n+1}
[/mm]
Zeige: dann ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Aussage [mm] P_n [/mm] wahr. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für mich sehen diese Eigenschaft genauso aus, wie die Kriterien für den induktionsbeweis! Übersehe ich evtl ein kleines detail, welches den unterschied/die schwierigkeit ausmacht? ansonsten wären durch die gegebenen eigenschaften ja bereits induktionsanfang und induktionsschritt bewiesen, was bleibt dann noch zu zeigen?
doch, eine unklarheit habe ich noch: warum das k? normalerweise schließt man doch von der richtigkeit für [mm] P_n [/mm] auf die richtigkeit für [mm] P_{n+1}.
[/mm]
vielen dank schon mal für die hilfe,
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Di 21.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> es sei [mm](P_n)n \in \IN[/mm] eine Familie von Aussagen, welche
> folgende Eigenschaft hat:
> a) [mm]P_1[/mm] ist wahr
> b) Falls alle [mm]P_k[/mm] für 1 [mm]\le k\le[/mm] n wahr sind, so auch
> [mm]P_{n+1}[/mm]
>
> Zeige: dann ist für alle n [mm]\in \IN[/mm] die Aussage [mm]P_n[/mm] wahr.
> doch, eine unklarheit habe ich noch: warum das k?
> normalerweise schließt man doch von der richtigkeit für [mm]P_n[/mm]
> auf die richtigkeit für [mm]P_{n+1}.[/mm]
Genau da ist auch der berühmte kleine Unterschied. Hier brauchst du für die Herleitung der Wahrheit von [mm] P_{n+1} [/mm] die Wahrheit aller vorhergehenden [mm] P_{k}. [/mm] Also mußt du mit der vollständigen Ind., wie du sie gelernt hast, noch ein bißchen herumjonglieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | gigi |
zu dem unterschied zwischen n und k habe ich aber eben leider nichts gelernt! kannst du mir den unterschied erklären, warum das k? das ist ja nicht zwangsläufig eine natürliche zahl...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 21.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> zu dem unterschied zwischen n und k habe ich aber eben
> leider nichts gelernt! kannst du mir den unterschied
> erklären, warum das k? das ist ja nicht zwangsläufig eine
> natürliche zahl...
Doch es ist eine natürliche Zahl !
Statt
" [mm] P_k [/mm] ist wahr für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n "
könnte man auch schreiben
" [mm] P_k [/mm] ist wahr für k [mm] \in [/mm] {1, 2, ...., n} "
ich hoffe jetzt wirds klarer.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 21.10.2008 | | Autor: | gigi |
ja, ok danke!!
aber ich sehe noch immer nicht ganz klar, welcher der wichtige schritte ist, der in den induktionsbeweis noch rein muss! mit anderen worten: warum ist es so wie es in der aufgabe steht noch nicht der vollständige beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 21.10.2008 | | Autor: | awaken |
a) $ [mm] P_1 [/mm] $ ist wahr
b) Falls alle $ [mm] P_k [/mm] $ für 1 $ [mm] \le k\le [/mm] $ n wahr sind, so auch $ [mm] P_{n+1} [/mm] $
es gilt ja 1 $ [mm] \le [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n , also wenn man das mal betrachtet mit
k=1 und n=2, was ja nach der obigen Bedingung möglich ist,
dann weiss man
P(k) = P(1) = wahr (nach a) ) und P(n+1) = P(3) = wahr.
Aber man weiss nichts über P(2), P(4) usw.
Es soll also gezeigt werden, dass alle P-Behauptungen, also P(n) gilt.
Und dafür kannst du die Erkenntnisse aus der Bedingung a) und b) verwenden.
PS: hab den beitrag editiert, mit n=2 statt n=3 (was nicht geht, da die wahrheit von n+1 dann nicht mehr gewährleistet ist) sollte das beispiel richtiger sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 21.10.2008 | | Autor: | awaken |
a) $ [mm] P_1 [/mm] $ ist wahr
b) Falls alle $ [mm] P_k [/mm] $ für 1 $ [mm] \le k\le [/mm] $ n wahr sind, so auch $ [mm] P_{n+1} [/mm] $
es gilt ja 1 $ [mm] \le [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n , also wenn man das mal betrachtet mit
k=1 und n=2, was ja nach der obigen Bedingung möglich ist,
dann weiss man
P(k) = P(1) = wahr (nach a) ) und P(n+1) = P(3) = wahr.
Aber man weiss nichts über P(2), P(4) usw.
Es soll also gezeigt werden, dass alle P-Behauptungen, also P(n) gilt.
Und dafür kannst du die Erkenntnisse aus der Bedingung a) und b) verwenden.
ps.: sorry habe irgendwie auf das Ursprungsposting geantwortet...mein erstes posting..*g
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mi 22.10.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Untersuch doch mal die Familie von Aussagen [mm] P_{n}', [/mm] gegeben durch
[mm] P_{n}' [/mm] = [mm] P_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge P_n
[/mm]
mit klassischer vollständiger Induktion auf ihren Wahrheitsgehalt.
Gruß
Dieter
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:56 Mi 22.10.2008 | | Autor: | gigi |
@statler: warum ist das hier sinnvoll?
@awaken: ok, die aussagen sind praktisch nur für jedes zweite [mm] P_k [/mm] bewiesen. außerdem wissen wir, dass es für [mm] P_{n+1} [/mm] gilt--muss ich den beweis hier praktisch umgedreht führen? sonst weiß man es ja immer von [mm] P_n [/mm] und schließt dann auf [mm] P_{n+1} [/mm] ???
ich hab nur leider wirklich keine ahnung, WIE??!!!
danke für weitere hilfen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 22.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> @statler: warum ist das hier sinnvoll?
Nun, [mm] P_{1}' [/mm] ist doch wahr, und wenn [mm] P_{n}' [/mm] wahr ist, dann ist auch [mm] P_{n+1}' [/mm] wahr (Warum?). Also sind alle P' wahr. Also sind auch alle P wahr (Wieder warum?)
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 22.10.2008 | | Autor: | gigi |
nochmal kurz zur überprüfung meines aufgabenverständnisses, stimmt das so, wie ich es oben bereits geschrieben habe:
"....die aussagen sind praktisch nur für jedes zweite [mm] P_k [/mm] bewiesen. außerdem wissen wir, dass es für [mm] P_{n+1} [/mm] gilt--muss ich den beweis hier praktisch umgedreht führen? sonst weiß man es ja immer von [mm] P_n [/mm] und schließt dann auf [mm] P_{n+1} [/mm] ??? ....."
gut, und nun versuche ich mich an deinem induktionsbeweis:
> Nun, [mm]P_{1}'[/mm] ist doch wahr,
das ist praktisch der induktionsanfang: [mm] P_1' [/mm] ist wahr, weil [mm] P_1 [/mm] nach eigenschaft a) ja wahr ist
und wenn [mm]P_{n}'[/mm] wahr ist, dann
> ist auch [mm]P_{n+1}'[/mm] wahr (Warum?).
das ist dann der induktionsschritt. aber ich weiß wirklich nicht, warum [mm] P_n' [/mm] wahr ist (denn ich weiß ja nichts von [mm] P_n) [/mm] und wie ich dann auf [mm] P_n+1' [/mm] schließe.
> Also sind alle P' wahr.
> Also sind auch alle P wahr (Wieder warum?)
gut, das ist dann wieder klar--also ist auch [mm] P_n [/mm] wahr.
> Gruß
> Dieter
gruß zurück
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 22.10.2008 | | Autor: | statler |
Hi, Mahlzeit!
> gut, und nun versuche ich mich an deinem induktionsbeweis:
> > Nun, [mm]P_{1}'[/mm] ist doch wahr,
> das ist praktisch der induktionsanfang: [mm]P_1'[/mm] ist wahr, weil
> [mm]P_1[/mm] nach eigenschaft a) ja wahr ist
> und wenn [mm]P_{n}'[/mm] wahr ist, dann
> > ist auch [mm]P_{n+1}'[/mm] wahr (Warum?).
> das ist dann der induktionsschritt. aber ich weiß wirklich
> nicht, warum [mm]P_n'[/mm] wahr ist (denn ich weiß ja nichts von
> [mm]P_n)[/mm] und wie ich dann auf [mm]P_n+1'[/mm] schließe.
Der Induktionsschritt ist eine 'wenn - dann'-Aussage! Wenn [mm] P_n' [/mm] wahr ist, dann sind nach Def. alle [mm] P_k [/mm] für k von 1 bis n wahr, dann ist [mm] P_{n+1} [/mm] wahr nach Vor., dann sind alle [mm] P_k [/mm] für k von 1 bis n+1 wahr, dann ist [mm] P_{n+1}' [/mm] wahr.
> > Also sind alle P' wahr.
> > Also sind auch alle P wahr (Wieder warum?)
>
> gut, das ist dann wieder klar
Hoffentlich
Gruß
Dieter
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 16:48 Mi 22.10.2008 | | Autor: | gigi |
ok, also ich kann ja den ganzen induktionsbeweis nachvollziehen. aber wenn ich nun erklären müsste, warum man das so macht....dann habe ich glaub ich immer noch nicht ganz verstanden, was wir in diesem fall eigentlich beweisen müssen--kannst du es in anderen worten noch einmal auf den punkt bringen, bitte? besonders auch diesen "kleinen unterschied" zwischen k und n....
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mi 22.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier ist k der Laufindex, und n die Obergrenze für dieses k.
(Vergleiche das mal mit [mm] \summe_{k=1}^{n}.... [/mm] )
Und hier weisst du "Wenn [mm] P_{n} [/mm] wahr ist, ist auch [mm] P_{n+1} [/mm] wahr.
Und du weisst, dass [mm] P_{1} [/mm] wahr ist.
Was ist dann mit [mm] P_{1+1}=P_{2} [/mm] ?
Jetzt klarer?
Marius
P.S: Sorry, ich habe mir eben verklickt, und das ganze zwischenzeitlich mal als Umfrage gestellt, was ich aber wieder behoben habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:01 Do 23.10.2008 | | Autor: | gigi |
> Hallo
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> Hier ist k der Laufindex, und n die Obergrenze für dieses
> k.
> (Vergleiche das mal mit [mm]\summe_{k=1}^{n}....[/mm] )
>
> Und hier weisst du "Wenn [mm]P_{n}[/mm] wahr ist, ist auch [mm]P_{n+1}[/mm]
> wahr.
aber gerade das sollte ich doch nachweisen, dass [mm] P_n [/mm] wahr ist!?
>
> Und du weisst, dass [mm]P_{1}[/mm] wahr ist.
>
> Was ist dann mit [mm]P_{1+1}=P_{2}[/mm] ?
das folgt doch auch aus [mm] P_n [/mm] ist wahr und folglich auch [mm] P_{n+1}, [/mm] oder?!
>
> Jetzt klarer?
sorry, aber mir ist eben immer noch nicht klar, was hier anderes drinsteht, als der induktionsbeweis!
>
> Marius
>
> P.S: Sorry, ich habe mir eben verklickt, und das ganze
> zwischenzeitlich mal als Umfrage gestellt, was ich aber
> wieder behoben habe.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Do 23.10.2008 | | Autor: | Gopal |
> > Hallo
> >
> > Hier ist k der Laufindex, und n die Obergrenze für dieses
> > k.
> > (Vergleiche das mal mit [mm]\summe_{k=1}^{n}....[/mm] )
> >
> > Und hier weisst du "Wenn [mm]P_{n}[/mm] wahr ist, ist auch [mm]P_{n+1}[/mm]
> > wahr.
>
> aber gerade das sollte ich doch nachweisen, dass [mm]P_n[/mm] wahr
> ist!?
> >
> > Und du weisst, dass [mm]P_{1}[/mm] wahr ist.
> >
> > Was ist dann mit [mm]P_{1+1}=P_{2}[/mm] ?
>
> das folgt doch auch aus [mm]P_n[/mm] ist wahr und folglich auch
> [mm]P_{n+1},[/mm] oder?!
Nein, tut es eben gerade nicht. wenn n zum Beispiel 10 ist so wissen wir aus der voraussetzung, dass [mm] P_1 [/mm] wahr ist und, dass, wenn P_10 wahr wäre, auch P_11, P_12 und alle weiteren wahr wären.
Aber was ist mit [mm] P_2, P_3, [/mm] ... P_10? Über die Wahrheit dieser Aussagen wissen wir noch nichts. Diese Lücke musst du schließen.
normaler Induktionsbeweis: wenn [mm] P_n [/mm] wahr für irgendein n, dann [mm] P_{n+1} [/mm] wahr. Dieses n kann beliebig groß sein. Ich weiß dann zwar nichts über all die [mm] P_k [/mm] mit k<n, aber ich kann mir sicher sei, dass die [mm] P_k [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] n alle wahr sind.
Hier,in deiner Aufgabe: wenn für alle [mm] k\le [/mm] n die [mm] P_k [/mm] wahr sind, dann [mm] P_{n+1} [/mm] wahr. D.h., hier kommt es darauf an, dass die Aussage nicht nur für einen Startindex n gilt sondern auch für alle kleineren Indizes k<n.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 23.10.2008 | | Autor: | gigi |
das war jetzt wirklich gut erklärt, genau das hat mir noch gefehlt--DANKE!
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