induktion mit ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Sa 25.10.2008 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | | $n! [mm] \le (n/2)^n$ [/mm] für alle $n > 6$ |
hallo, kann mir jemand helfen die folgende ungleichung durch vollständige induktion zu beweisen ????
Ich sitzt da schon soo lange dran ,aber es will einfach nicht funktionieren..
$n! [mm] \le (n/2)^n$ [/mm] für alle $n > 6$
der induktionsanfang stimmt,
ich kriegs einfach nicht hin dass am ende
$(n+1)! [mm] \le ((n+1)/2)^{n+1}$ [/mm] steht
also erst dacht ich einfach mal n+1 nehmen , aber klappt nicht..
bin für jeden tipp dankbar
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1642223#1642223
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Sa 25.10.2008 | | Autor: | erisve |
das eine hoch n soll natürlich auch n+1 heißen bei dem was am ende da stehen soll ,)
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Hallo,
> das eine hoch n soll natürlich auch n+1 heißen bei dem was
> am ende da stehen soll ,)
Ich bessere es mal eben aus, für das nächste Mal bedenke:
Setze Exponenten (genau wie auch Indizes), die mehr als 1 Zeichen lang sind in geschweifte Klammern {}
Also (n+1)^{n+1} ergibt [mm] $(n+1)^{n+1}$ [/mm]
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 So 26.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
siehe doch lieber Antwort von schachuzipus 
> n! <= [mm](n/2)^n[/mm] für alle n > 6
> hallo, kann mir jemand helfen die folgende ungleichung
> durch vollständige induktion zu beweisen ????
> Ich sitzt da schon soo lange dran ,aber es will einfach
> nicht funktionieren..
> n! <= [mm](n/2)^n[/mm] für alle n > 6
> der induktionsanfang stimmt,
> ich kriegs einfach nicht hin dass am ende
> (n+1)! <= [mm]((n+1)/2)^n+1[/mm] steht
Diese Form ist evtl. auch gar nicht sinnvoll ( bzw. nicht möglich ), da wir es hier mit einer Ungleichung zu tun haben. Du gehst erst einmal garnz normal vor, wie bei einer "normalen" Induktion:
[mm] n!\le(\bruch{n}{2})^n [/mm] für alle n > 6
Induktionsanfang: n=7
[mm] 7!=5040\le(\bruch{7}{2})^7\approx6433,93
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: [mm] n!\le(\bruch{n}{2})^n [/mm] für alle n > 6
Induktionsschritt: [mm] n\to{n+1}
[/mm]
[mm] \red{(n+1)!}=\green{n!}*(n+1)\overbrace{\le}^{\text{IV}}\green{(\bruch{n}{2})^n}*(n+1)
[/mm]
Da nach Induktionsvoraussetzung [mm] n!\le(\bruch{n}{2})^n [/mm] (für alle n > 6) ist auch [mm] \green{n!}*(n+1)\le\green{(\bruch{n}{2})^n}*(n+1).
[/mm]
So hast du diese Ungleichung mit Induktion bewiesen - auch ohne auf die Form
> (n+1)! <= $ [mm] ((n+1)/2)^n+1 [/mm] $
zu kommen.
MfG barsch
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Hallo erisve und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich denke nicht, dass der Weg von barsch so klappt, da du im Induktionsschritt [mm] $(n+1)!\le\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}$ [/mm] zeigen musst.
M.E. benötigst du die Bernoullische Ungleichung
Den Anfang kannst du gem. der Antwort von barsch machen:
[mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot{}n!\le (n+1)\cdot{}\left(\frac{n}{2}\right)^n (\star)$
[/mm]
Nun kannst du dir mit der Bernoullischen Ungleichung überlegen, dass [mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge 1+n\cdot{}\frac{1}{n}=2$ [/mm] ist
Also [mm] $2\cdot{}\red{n^n}\le \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\cdot{}\red{n^n}$
[/mm]
dh. [mm] $2n^n\le (n+1)^n$ [/mm] bzw. [mm] $n^n\le\frac{1}{2}(n+1)^n$
[/mm]
und damit [mm] $\left(\frac{n}{2}\right)^n\le\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{2}\right)^n$
[/mm]
Damit kannst du [mm] $(\star)$ [/mm] nun weiter abschätzen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 26.10.2008 | | Autor: | erisve |
hey ihr beiden ,vielen lieben dank für die schnelle antwort, ist ja echt ein klasse forum hier, vor allem dass man das mit den formeln so toll schreiben kann,
hab es jetzt auch verstanden, nur wäre ich wohl alleine nie drauf gekommen....
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