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| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für die n -te Ableitung von f gilt:
[mm] f^{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(1-x)^{n+1}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1 |
Hallo
Ich komm leider beim Induktionsbeweis nicht weiter.
Die Behauptung ist ja
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
Als Ansatz für den Beweis nehm ich [mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] (f^{n}(x))´= [/mm]
( [mm] \bruch{n!}{(1-x)^{n+1}} [/mm] ) ´. Hier komm ich nicht weiter da ich die ableitung hier nicht hinbekomme.
Wenn ich jetzt
[mm] f^{n+1}(x)= \bruch{n!}{(1-x)^{n+1}} \* \bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
rechnen will komm ich irgendwie auch nicht auf
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}} [/mm] .
Hat jmd ein lösungsweg für diesen Induktionsbeweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 13.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
du hast [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
Ind. Anfang: f'(x)=...
Du sollst zeigen, dass [mm] f{(n+1)}(x)=\bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
Du kannst voraussetzen, dass [mm] f^{(n)}(x)=\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}
[/mm]
Also:
[mm] f^{(n+1)}(x)
[/mm]
[mm] =\left(f^{(n)}(x)\right)'
[/mm]
[mm] =\left(f^{(n)}(x)\right)'
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'
[/mm]
Und die Ableitung von [mm] \bruch{n!}{(1-x)^{n+1}} [/mm] bekommst du mit der Quotientenregel hin. (für die Ableitung des Zählers benutze noch die Kettenregel)
Also:
[mm] \left(\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'
[/mm]
[mm] =\bruch{\overbrace{0}^{u'}*\overbrace{(1-x)^{n+1}}^{v}-\overbrace{n!}^{u}*\overbrace{(-1)*((n+1)-1)*(1-x)^{(n+1)-1}}^{v'}}{\left((1-x)^{n+1}\right)^{2}}
[/mm]
Das versuche mal, zum Zielergebnis zusammenzufassen.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:00 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Du meinst wohl
[mm]\left(\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'=\bruch{\overbrace{0}^{u'}*\overbrace{(1-x)^{n+1}}^{v}-\overbrace{n!}^{u}*\overbrace{(-1)*\red{(n+1)}*(1-x)^{(n+1)-1}}^{v'}}{\left((1-x)^{n+1}\right)^{2}}[/mm]
Außerdem ist mir unklar, warum du den konstanten Term $n!$ nicht einfach rausziehst:
[mm] $\left(\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}\right)'=n!\cdot\left(\bruch{1}{(1-x)^{n+1}}\right)'$
[/mm]
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mo 13.10.2008 | | Autor: | meldrolon |
Danke für die schnelle antwort.
Die ableitung der Fakultät war für mich unbekannt.
Aber so hat alles hingehauen danke.
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