implizite funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Di 04.07.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute,
wir hatten unter anderem in der vorlesung das kapitel "implizite Funktionen" (nach dem Forster)
Also ich hab das kapitel so verstanden, dass man für fkt [mm] f:U\to\IR [/mm] wobei [mm] U\subset\IR^2
[/mm]
die parametert die der fkt übergeben werden, in abhängigkeit von einem schreiben möchte, (also zB (x,g(x)) so das f(x,g(x)) immer 0 ergibt. und weiter haben will man das g so wählen zB dass f(x,g(x) zB immer 2 ergibt usw. und das geht halt nicht immer für alle x sonder manchmal nur für eine bestimmte umgebung und das war auch schon das ganze kapitel.
habe ich da jetzt irgendwas wichtiges vergessen?
danke und gruß
Ari
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Hallo AriR,
deine darstellung ist vielleicht ein wenig zu sehr vereinfacht, aber im grunde stimmts...  allerdings gilt der satz unter viel allgemeineren voraussetzungen, nämlich für Fkten. [mm] $F:\IR^m\times \IR^n\to \IR^n$ [/mm] (F kann natürlich auch nur auf Teilmengen definiert sein). Hat man dann eine Nullstelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $F(x_0,y_0)=0$ [/mm] und ist [mm] $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ [/mm] invertierbar, so lässt sich die nullstellen-Menge lokal um diesen Punkt als Graph in $x$ darstellen.
Als ebensowichtige Folgerung ergibt sich der Satz von der inversen Funktion.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 05.07.2006 | | Autor: | AriR |
hat man dann nur eine existenzaussage? wie kann man diese funktion denn genau finden? manchmal sind diese implizieten funktionen auch nur auf teilmengen definiert. habt ihr vielleicht eine beispielaufgabe irgendwo dazu?
danke und gruß
Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> hat man dann nur eine existenzaussage?
Ja, es handelt sich um eine reine Existenzaussage.
> manchmal sind diese implizieten funktionen auch nur auf teilmengen definiert. habt ihr vielleicht eine beispielaufgabe irgendwo dazu?
Ja, nimm dir die Funktion [mm] $f:\IR^2\to\IR, f(x,y)=x^2+y^2-1$. [/mm] Dann ist [mm] $f^{-1}(0)$ [/mm] der Einheitskreis. Wählst du eine Nullstelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $y_0\neq [/mm] 0$, dann kannst du die implizite Funktion [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] in einer Umgebung lokal nach $y$ auflösen; in diesem Fall ist es nicht schwierig, die Abbildung anzugeben: [mm] $\sig(y)\sqrt{1-x^2}$.
[/mm]
Ist hingegen [mm] $y=0,x=\pm [/mm] 1$, dann haben wir [mm] $\partial_y f(x_0,y_0)=0$ [/mm] und der Satz kann nicht angewandt werden; das ist auch anschaulich klar, denn in jeder Umgebung von [mm] $(\pm [/mm] 1,0)$ gibt es Punkte, mit gleicher $x$ und verschiedener $y$-Koordinate auf [mm] $f^{-1}(0)$; [/mm] die Gleichung [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] lässt sich hier also nicht lokal nach $y$ umstellen.
Liebe Grüße,
Hanno
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