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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - implizite Funktion mit exp(x)
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implizite Funktion mit exp(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Fr 09.07.2004
Autor: danimax

Hallo liebe Leute!
Ich habe folgendes Problem, dass ich natürlich in keinem weiteren Forum o.Ä. gepostet habe...

Also ich versuche gerade (seit Stunden) die Funktion f: [mm] \IR²\ [/mm] -> [mm] \IR\ [/mm]

f(u,v)= x*exp(x)+y*exp(y)

durch den Satz der impliziten Funktion lokal in (0,0) nach y aufzulösen.

Jetzt habe ich nur ein Problem, ich muss ja zuerst die Vorraussetzungen prüfen, ob f stetig diffbar ist.
->Naja aber die Exponentialfunktion ist doch das unstetigste was man sich vorstellen kann....

Und selbst wenn ich dies erstmal vernachlässige muss ich ja einen Punkt (x,y) finden für das f(x,y)=0 gilt und weiterhin die Ableitung  Dyf(x,y) [mm] \ne [/mm] 0 ist...


-----
Der komplette Aufgabentext lautet:

Man definiere f: [mm] \IR²\ [/mm] -> [mm] \IR\ [/mm] durch:
F(u,v)= x*exp(x)+y*exp(y)

-Beweisen Sie dass sich F in (0,0) lokal nach y auflösen lässt und berechnen SIe die Ableitung der impliziten Funktion, die durch die Gleichung F(x,y)=0 gegeben ist.
----

Ich danke Jedem der sich meinem Problem annimmt und mir hilft vom *AufDemSchlauchStehen* weg zu kommen..

        
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:21 Fr 09.07.2004
Autor: danimax

Argggg... ich nehme fast alles zurück...
natürlich ist die Funktion in (0,0) gleich null... und in diesem Punkt auch stetig
und auch in DyF(0,0) [mm] \ne [/mm] 0

Entschuldigt das vorschnelle fragen (nach 2 stunden überlegen... :-)
Aber ich habs jetzt...

soll ichs jemandem erklären? ;-))
Gruß

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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Ja mir bitte, wie muss ich denn bei dieser Aufgabe vorgehen?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 20.04.2009
Autor: fred97

Sei $F(x,y) = [mm] xe^x+ye^y$ [/mm]

Es ist [mm] $F_y(x,y) [/mm] = [mm] (1+y)e^y$, [/mm] also

             $F(0,0) = 0$ und [mm] $F_y(0,0) [/mm] = 1$

Nach dem Satz über implizit definierte Funktionen ex. eine offene Umgebung U von 0 und eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] mit

             $F(x,f(x)) = 0$ für jedes x [mm] \in [/mm] U  und $f(0) =0$


Differenziere die letzte Gleichung nach x, so erhälst Du $f'(x)$



FRED

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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Danke für die schnelle Antwort

1. Wieso leitest du nach y ab?
2. Was ist jetzt mein f(x)? die Ableitung?


Ich bräuchte mehr die Idee und das warum, als den Rechenweg.

Gruß

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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mo 20.04.2009
Autor: fred97

Kennst Du überhaupt den Satz über implizit definierte Funktionen ?

Wenn ja, so, so verstehe ich Deine Fragen nicht.

Wenn nein, so mach Dich schlau

FRED

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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Okay, die Ableitung muss man machen

da die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen im Punkt (x0,y0) invertierbar sein müssen,


Okay, Also habe ich durch die Ableitung nach y sozusagen dies sichergestellt,

Aber mein f(x), wie sieht das aus?

Sorry ich stehe etwas auf dem Schlauch

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Mo 20.04.2009
Autor: fred97


> Okay, die Ableitung muss man machen
>
> da die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen im
> Punkt (x0,y0) invertierbar sein müssen,
>
>
> Okay, Also habe ich durch die Ableitung nach y sozusagen
> dies sichergestellt,
>
> Aber mein f(x), wie sieht das aus?
>


f ist implizit gegeben durch


            $ F(x,f(x)) = 0 $ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ U

Explizit kannst Du f nicht bestimmen !!


FRED




> Sorry ich stehe etwas auf dem Schlauch
>  
> Gruß


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implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mo 20.04.2009
Autor: leduart

Hallo
f(x)=y das sieht nicht aus. Du kannst die implizite fkt auch nicht  durch einen ausdruck aufloesen, sondern nur beweisen dass es bei 0 ein Aufl. gibt.
Dann sollst du die implizite ableitung finden.
gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Also ist die Ableitung:

0 = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x) [/mm]

Jetzt nach f'(x) umstellen und dann ergibt sich daraus:

[mm] f'(x)=\bruch{(1+x)e^x}{f_y(x,f(x))} [/mm]  

Wie rechne ich den Nenner aus?




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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Mo 20.04.2009
Autor: fred97


> Also ist die Ableitung:
>  
> = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]

Nicht ganz richtig ! Mit meinen Bezeichnungen von oben gilt:

[mm]\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))f'(x) = 0[/mm]  auf U

Löse die nach $f'(x)$ auf

FRED




>
> kann ich dies noch ausrechnen? wohl nicht oder?
>  
>  


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Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Ja hab ich gemacht, habe meinen Betrag editiert, les ihn dir nochmal durch.

Gruß

Bezug
                                        
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 20.04.2009
Autor: fred97


> Also ist die Ableitung:
>  
> 0 = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial f}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]
>

Nochmal:


0 = [mm]\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))+\bruch{\partial F}{\partial x}(x,f(x))f'(x)[/mm]


> Jetzt nach f'(x) umstellen und dann ergibt sich daraus:
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{(1+x)e^x}{f_y(x,f(x))}[/mm]  

Nein.

[mm] $f'(x)=-\bruch{(1+x)e^x}{F_y(x,f(x))}= -\bruch{(1+x)e^x}{(1+f(x))e^{f(x)}}$ [/mm]


>
> Wie rechne ich den Nenner aus?

Damit muß man sich begnügen:

$f'(x)  = [mm] -\bruch{(1+x)e^x}{(1+f(x))e^{f(x)}}$ [/mm]



FRED



>  
>
>
>  


Bezug
                                                
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Mo 20.04.2009
Autor: Lorence

Okay, danke für deine Hilfe

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
implizite Funktion mit exp(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mo 20.04.2009
Autor: fred97

Bemerkung. Wegen f(0) = 0 bekommst Du "immerhin":  f'(0) = 1


FRED

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