implizit definierte Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 So 05.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Unsere Aufgabe(2):
Sei [mm] f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},y_{3})= \vektor{2e^{x_{1}}+x_{2}y_{1}-4y_{2}+3 \\ x_{2}cosx_{1}-6x_{1}+2y_{1}-y_{3}}
[/mm]
i) zzg.: Es ex. eine offene Umgebung U von (3,2,7) [mm] \in \IR^{3} [/mm] und [mm] g:U\to\IR^{2} [/mm] stetig differenzierbar mit g(3,2,7)=(0,1) und f(g(y),y)=0 für alle y [mm] \in [/mm] U
ii) berechnen Sie Dg(3,2,7)
zu i):
haben den Satz über implizit definierte Funktionen
Sei U [mm] \subset( \IR^{n}x \IR^{m}) [/mm] offen und f:U [mm] \to\IR^{m} [/mm] stetig differenzierbare Abb. mit f [mm] \vektor{a \\ b}=o [/mm] wobei a [mm] \in \IR^{n} [/mm] und b [mm] \in \IR^{m} [/mm] und sei [mm] d_{y}f \vektor{a \\ b} [/mm] invertierbar.
Dann existieren Umgebungen U' [mm] \subset\IR^{n} [/mm] von a und [mm] U''\subset\IR^{m} [/mm] von b und es gibt eine stetig differenzierbare Abb. g:U' [mm] \toU'' [/mm] so dass f( [mm] \vektor{x \\ g(x)})=0 [/mm] für x [mm] \inU'
[/mm]
Meine Frage: kann man da dann auch x und y vertauschen, also falls [mm] d_{x}f \vektor{a \\ b} [/mm] invertierbar dann existieren Umgebungen U' [mm] \subset\IR^{n} [/mm] von a und [mm] U''\subset\IR^{m} [/mm] von b und es gibt eine stetig differenzierbare Abb. g:U'' [mm] \toU' [/mm] so dass f( [mm] \vektor{g(y) \\ y})=0 [/mm] für y [mm] \inU''
[/mm]
zu ii) Ist dann Dg(3,2,7) auszurechnen mit
[mm] dg(y)=-[d_{y}f \vektor{g(y)\\ y}]^{-1} *d_{y}f \vektor{g(y) \\ y} [/mm] ?
|
|
| |
|
Hallo Lessa,
> zu ii) Ist dann Dg(3,2,7) auszurechnen mit
> [mm]dg(y)=-[d_{y}f \vektor{g(y)\\ y}]^{-1} *d_{y}f \vektor{g(y) \\ y}[/mm]
> ?
wenn Du das hier meinst:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta x_1 }}
{{\delta y_1 }}} \hfill & {\frac{{\delta x_1 }}
{{\delta y_2 }}} \hfill & {\frac{{\delta x_1 }}
{{\delta y_3 }}} \hfill \\
{\frac{{\delta x_2 }}
{{\delta y_1 }}} \hfill & {\frac{{\delta x_2 }}
{{\delta y_2 }}} \hfill & {\frac{{\delta x_2 }}
{{\delta y_3 }}} \hfill \\
\end{array} } \right)\; = \; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta x_1 }}} & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta x_2 }}} \\
{\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta x_1 }}} & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta x_2 }}} \\
\end{array} } \right)^{ - 1} \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta y_1 }}} \hfill & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta y_2 }}} \hfill & {\frac{{\delta f_1 }}
{{\delta y_3 }}} \hfill \\
{\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta y_1 }}} \hfill & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta y_2 }}} \hfill & {\frac{{\delta f_2 }}
{{\delta y_3 }}} \hfill \\
\end{array} } \right)[/mm]
wobei hier
[mm]f\left( {x_1 ,\;x_2 ,\;y_1 ,\;y_2 ,\;y_3 } \right)\; = \;\left( {f_1 \left( {x_1 ,\;x_2 ,\;y_1 ,\;y_2 ,\;y_3 } \right),\;f_2 \left( {x_1 ,\;x_2 ,\;y_1 ,\;y_2 ,\;y_3 } \right)} \right)^T [/mm]
Andere Schreibweise:
[mm]\frac{{\delta \left( {x_1 ,\;x_2 } \right)}}
{{\delta \left( {y_1 ,\;y_2 ,\;y_3 } \right)}}\; = \; - \;\left( {\frac{{\delta \left( {f_1 ,\;f_2 } \right)}}
{{\delta \left( {x_1 ,\;x_2 } \right)}}} \right)^{ - 1} \;\frac{{\delta \left( {f_1 ,\;f_2 } \right)}}
{{\delta \left( {y_1 ,\;y_2 ,\;y_3 } \right)}}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
