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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sei A.= [mm] \pmat{1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&0}. [/mm] Zeigen Sie, dass für [mm] b:=\vektor{b1\\b2\\b3\\b4} \in R^4 [/mm] gilt
[mm] b\in [/mm] imA [mm] \gdw [/mm] b1+b2+b3+b4=0 |
Erstens: was heißt imA?? und zweitens wie kann ich zeigen, dass ein Vektor in einer Matrix ist???
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> Sei A.= [mm]\pmat{1&0&0&0\\
-1&1&0&0\\
0&-1&1&0\\
0&0&-1&0}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass für [mm]b:=\vektor{b1\\
b2\\
b3\\
b4} \in R^4[/mm]
> gilt
> [mm]b\in[/mm] imA [mm]\gdw[/mm] b1+b2+b3+b4=0
> Erstens: was heißt imA??
Hallo,
Bild A, also das Bild von A.
Das Bild wird erzeugt von den Spalten der Matrix.
> und zweitens wie kann ich
> zeigen, dass ein Vektor in einer Matrix ist???
Du sollst nicht zeigen, daß er in einer Matrix ist.
Es geht um einen Vektor, der im Bild der Matrix liegt, also als Linearkombination ihrer Spalten dargestellt werden kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Dass im A heißen soll dass es das bild ist habe ich inzwischen auch gefunden:D bei uns hieß das sonst immer img
Okay... also der Vektor soll sich als Linearkombination der einzelnen Spalten darstellen lassen.
Aber wie "rechnet" man sowas??
x*spalte1+y*spalte2+z*spalte3......=b ??????
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> Okay... also der Vektor soll sich als Linearkombination der
> einzelnen Spalten darstellen lassen.
>
> Aber wie "rechnet" man sowas??
Sei [mm] b\in [/mm] imA.
==> es gibt x,y,z mit
>
> x*spalte1+y*spalte2+z*spalte3......=b .
==> [mm] B=\vektor{...}
[/mm]
Nun addierst Du die Einträge des Vektors und überzeugst Dich davon, daß 0 herauskommt.
Damit hast Du die eine Richtung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Also wenn ich das dann auflöse, was ich da hingeschrieben habe bekomme ich folgendes:
[mm] \vektor{x\\-x\\0\\0} +\vektor{0\\y\\-y\\0}+\vektor{0\\0\\z\\-z}+\vektor{0\\0\\0\\0}=\vektor{b1\\b2\\b3\\b4}
[/mm]
und dann???
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> Also wenn ich das dann auflöse, was ich da hingeschrieben
> habe bekomme ich folgendes:
>
> [mm]\vektor{x\\
-x\\
0\\
0} +\vektor{0\\
y\\
-y\\
0}+\vektor{0\\
0\\
z\\
-z}+\vektor{0\\
0\\
0\\
0}=\vektor{b1\\
b2\\
b3\\
b4}[/mm]
>
> und dann???
Hallo,
dann überlegst Du Dir, welcher vektor links steht. Kein so origineller gedanke, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
na links steht dann:
[mm] \vektor{x\\y-x\\z-y\\-z}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Ahhhhhhhhhhhhhhhh....
jetzt habe ich das verstandne......
ok... jetzt muss ich dann noch anders rum versuchen...
also es gilt: b1+b2+b3+b4=0
wie kann ich das jetzt in Zusammenhang mit A bringen?? denn die Annahme dass b [mm] \in [/mm] imA ist darf ich ja nicht benutzen, dass soll ich ja zeigen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige, dass das LGS
[mm] $A*\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3 \\x_4 }= \vektor{b_1 \\ b_2\\ b_3 \\b_4 }$
[/mm]
eine Lösung hat.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
okay dann kommt das raus:
[mm] \pmat{1&0&0&0&b1\\0&1&0&0&b1+b2\\0&0&1&0&b1+b2+b3\\0&0&0&0&b1+b2+b3+b4}
[/mm]
So jetzt sehe ich wieder dass b1+b2+b3+b4=0 sein muss
Aber das habe ich ja schon im ersten Teil bewiesen, ich muss doch zeigen, dass wenn das so ist, dass dann [mm] b\in [/mm] imA ist
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> okay dann kommt das raus:
>
> [mm]\pmat{1&0&0&0&b1\\
0&1&0&0&b1+b2\\
0&0&1&0&b1+b2+b3\\
0&0&0&0&b1+b2+b3+b4}[/mm]
>
> So jetzt sehe ich wieder dass b1+b2+b3+b4=0 sein muss
> Aber das habe ich ja schon im ersten Teil bewiesen,
Hallo,
wir sind doch jetzt bei der Rückrichtung.
Und bei dieser ist es vorausgesetzt. (Sonst gäb's ja auch gar keine Lösung.)
Aber wie lautet die Lösung Deines Gleichungssystems denn nun?
Mach jetzt vor, wie Du b als Linearkombination der Spalten darstellst.
Dafür hast Du das GS doch gelöst.
Gruß v. Angela
> ich
> muss doch zeigen, dass wenn das so ist, dass dann [mm]b\in[/mm] imA
> ist
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