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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | i) Seien A, B nichtleere Mengen. Seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] A Abbildungen mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A}, [/mm] wobei [mm] id_{A} [/mm] die identische Abbildung auf A sei.
Zeigen Sie: f ist injektiv und g ist surjektiv
ii) Sei f:A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Folgern sie aus i): f ist bijektiv genau dann, wenn es Abbildungen g:B [mm] \to [/mm] A und h: B [mm] \to [/mm] A gibt mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm] und f [mm] \circ [/mm] h = [mm] id_{B} [/mm] |
i) Wenn ich es richtig verstanden habe, soll ich ja beweisen, das f injektiv und g surjektiv ist. Also muss f nicht auch surjektiv und g nicht injektiv sein.
Aber wie beweise ich es denn das es so ist? das g [mm] \circ [/mm] f die identische Abbildung ist, ist mir noch klar.
ii) Hier fehlt mir auch ein kompletter Ansatz für den Beweise...
Danke für eure Hilfe
LG Janika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
i) Ist f(x)=f(y), so wende auf beiden Seiten g an und wegen [mm] $g\circ f=\operatorname{id}_A$ [/mm] folgt x=y. Also ist f injektiv. Ist nun [mm] $a\in [/mm] A$ beliebig, so ist $g(f(a))=a$, also g surjektiv.
ii) Die Hinrichtung ist trivial, setze einfach [mm] $g:=h:=f^{-1}$. [/mm] Rückrichtung: Aus [mm] $g\circ f=\operatorname{id}_A$ [/mm] folgt mit i) f injektiv und aus [mm] $f\circ h=\operatorname{id}_B$ [/mm] folgt f surjektiv, also ist f bijektiv.
Gruß, Robert
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