hyperbolischer Abstand a=b=c < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei C die durch [mm] C:=\{c(t)|c(t)=(2,\sqrt {3} cos(t), \sqrt {3} sin(t))^T, t\in \mathbb{R}\} [/mm] definierte Teilmenge des [mm] \mathbb{R}^3.
[/mm]
Ermitteln Sie drei Punkte [mm] a,b,c,\in [/mm] C, für die [mm] d_h(a,b)=d_h(bc)=d_h(a,c) [/mm] gilt und geben Sie dann eine Darstellung des Großhyperbelbogens von a nach b an. |
Also meine Ideen zu der Aufgabe:
Die Punkte müssen ja die Form [mm] (2,\wurzel{3} [/mm] cos(t), [mm] \wurzel{3} sin(t))^T [/mm] haben, da sie in C sind.
Den hyperbolischen Abstand von zwei Punkten haben wir so definiert: [mm] arccosh(d_h(x,y))=-<>, [/mm] wobei <<,>> das Minkowskiprodukt ist.
Nun habe ich versucht einfach für drei Punkte der obigen Gestalt mit t,t', t'' den Abstand mit dieser Formel auszurechnen und dann gleichzusetzen, aber das führt irgendwie zu nichts. Bin ich auf dem Holzweg?
Vielen Dank schonmal im Voraus für Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also meine Ideen zu der Aufgabe:
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> Die Punkte müssen ja die Form [mm](2,\wurzel{3}[/mm] cos(t),
> [mm]\wurzel{3} sin(t))^T[/mm] haben, da sie in C sind.
Ja, ist ein Kreis, der da durchlaufen wird ... komisch, dachte eher, da käme ne Schraublinie.
> Den hyperbolischen Abstand von zwei Punkten haben wir so
> definiert: [mm]arccosh(d_h(x,y))=-<>,[/mm] wobei <<,>> das
> Minkowskiprodukt ist.
Das Mink.produkt ist doch [m]<<(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)>>=x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3[/m] hier, oder? Ist der Abstand dann nicht eher [mm]arccosh(d_h(x,y))=-<>[/mm]?
> Nun habe ich versucht einfach für drei Punkte der obigen
> Gestalt mit t,t', t'' den Abstand mit dieser Formel
> auszurechnen und dann gleichzusetzen, aber das führt
> irgendwie zu nichts. Bin ich auf dem Holzweg?
Erstmal obiges klären. Wenn ich da richtig liege - das Produkt ist invariant unter Drehungen, die die erste Koordinste konstant halten, somit einfach den KReis in 3 gleich große Teile zerlegen, also dritteln.
SEcki
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Nein, also wir haben das Minkowskiprodukt so definiert: [mm] <>=-x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
[/mm]
Und den Abstand so wie beschrieben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Do 21.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nein, also wir haben das Minkowskiprodukt so definiert:
> [mm]<>=-x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3[/mm]
Auch gut.
> Und den Abstand so wie beschrieben.
Ah, so langsam verstehe ich - ist das so wie ![[]](/images/popup.gif) hier, auf Seite 57?
Nun ja, eine Rotation um die x-Achse ist immer noch eine Invariante des Mink.Produktes - also wenn du x,y auf dem Kreis nimmst und dies weiterrotierst, bleibt der Abstand erhatlen. Du musst den Kreis also in drei Teile unterteilen, wie oben gesagt.
SEcki
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Ok vielen Dank für den Hinweis. Und wie sehen die Drehungen in der hyperbolischen Geometrie aus? Ist das einer von den Lorentz-Boosts?
Ich komm langsam ein bisschen durcheinander...
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Ok vielen Dank für den Hinweis. Und wie sehen die Drehungen in der hyperbolischen Geometrie aus? Ist das einer von den Lorentz-Boosts? Und wie findet sich der Kreis in der Drehung wieder, den ich dann dritteln muss?
Ich komm langsam ein bisschen durcheinander...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Fr 22.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ok vielen Dank für den Hinweis. Und wie sehen die
> Drehungen in der hyperbolischen Geometrie aus?
Ich meinte tatsächlich eine Drehung um die x-Achse im 3-dim. Raum. Diese ist auch eine Isometrie der hyperbolischen Geometrie die den Kreis in sich wirft, nimm mal eine Drehung r um 120° und einen Punkt p auf dem Kreis, dann sind [m]p,r(p),r^2(p)[/m] solche Punkte.
> Ist das
> einer von den Lorentz-Boosts?
Hm, müsste ich wieder nachschlagen, was das ist ;)
> Und wie findet sich der Kreis
> in der Drehung wieder, den ich dann dritteln muss?
Der Kreis wird in sich überführt.
> Ich komm langsam ein bisschen durcheinander...
Vielleicht mal aufmalen?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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