homogene lineare komplexe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden homogenen linearen komplexen
Di erentialgleichungen:
x'''(t)+x''(t)-5x'(t)+3x(t)=0 |
x'''(t)+x''(t)-5x'(t)+3x(t)=0
Unser Ansatz ist immer f(x)= [mm] e^{\lambda t}
[/mm]
das bedeutet
[mm] \lambda^3 e^{\lambda t}+\lambda^2 e^{\lambda t}+5 \lambda e^{\lambda t}+3e^{\lambda t}
[/mm]
und das bedeutet
[mm] \lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3=0
[/mm]
richtig soweit?
Jetzt würde ich die erste Nullstelle erraten: 1
und Polynom divison von
[mm] (\lambda^3+\lambda^2-5\lambda+3):(\lambda-1)= [/mm]
und die geht nciht auf :/
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Hallo,
stimmt alles bisher, [mm] $\lambda=1 [/mm] $ ist auch Nullstelle.
Die Polynomdivision muss aufgehen. Zeige deine Rechnung dazu!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
sorry, war ein dummer vorzeichenfehler...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Nach Polynomdivision ahbe ioch also
[mm] \lambda^2 [/mm] +2 [mm] \lambda-3=0
[/mm]
[mm] \lambda=1 [/mm] V [mm] \lambda_{2}= [/mm] -1
Wie genau gehts jetzt weiter? Was muss ich tun? Und was musste ich nochmal tun wenn man eine Nullstelle doppelt hatte?
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Hallo DarkJiN,
> Nach Polynomdivision ahbe ioch also
>
> [mm]\lambda^2[/mm] +2 [mm]\lambda-3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda=1[/mm] V [mm]\lambda_{2}=[/mm] -1
>
Damit hat [mm]\lambda_{1}=1[/mm] die Vielfachheit 2.
[mm]\lambda_{2}=-1[/mm] ist keine Nullstelle des Polynoms
[mm]\lambda^2[/mm] +2 [mm]\lambda-3=0[/mm]
> Wie genau gehts jetzt weiter? Was muss ich tun? Und was
> musste ich nochmal tun wenn man eine Nullstelle doppelt
> hatte?
Die Lösung [mm]e^{\lambda_{1}*x}[/mm] ist mit x zu multiplizieren.
Dies ist dann auch eine Lösung der homogenen DGL.
Die Lösung der DGL ergibt sich dann zu:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{\lambda_{1}*x}+c_{2}*x*e^{\lambda_{1}*x}+c_{3}*e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
sorry statt -1 sollte da -3 stehen vertippt.
also
$ [mm] y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{1\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{1\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{1\cdot{}x} [/mm] $
bzw
[mm] y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{-3\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}
[/mm]
oder wie?
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Hallo DarkJiN,
> sorry statt -1 sollte da -3 stehen vertippt.
>
>
> also
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{1\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{1\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{1\cdot{}x}[/mm]
>
> bzw
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{-3\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}[/mm]
>
>
> oder wie?
Weder noch.
[mm]y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
Ich dachte ich muss jetzt einfach [mm] \lambda [/mm] einsetzen..
Woher weißt du welches [mm] \lambda [/mm] du wo einsetzt?
könnte man nicht auch schreiben:
$ [mm] y\left(x\right)=c_{-3}\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{1\cdot{}x} [/mm] $
?
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Hallo DarkJiN,
>
> Ich dachte ich muss jetzt einfach [mm]\lambda[/mm] einsetzen..
>
> Woher weißt du welches [mm]\lambda[/mm] du wo einsetzt?
>
[mm]\lambda_{1}=1[/mm] ist doppelte Nullstelle.
Daher ergeben sich die Lösungen zu [mm]e^{\lambda_{1}*x}, \ x*e^{\lambda_{1}*x}[/mm]
[mm]\lambda_{2}=-3[/mm] ist einfache Nullstelle.
Damit ergibt sich die Lösung zu [mm]e^{\lambda_{2}*x}[/mm]
> könnte man nicht auch schreiben:
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{-3}\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{2}\cdot{}x\cdot{}e^{\blue{1}\cdot{}x}+c_{3}\cdot{}e^{1\cdot{}x}[/mm]
>
> ?
Nein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Sa 09.02.2013 | | Autor: | DarkJiN |
danke!
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