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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Sa 18.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Lösungen folgender Differentialgleichungen
a) y '' + y ' - 2y = 0 Anfangswerte y(0)= 1 ; y ' (0)= 0
b) y '' + 2 y ' + y = 0 Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5
c) y '' + 4 y ' - 21y = 0 Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0) = 10 |
Moin,
also zunächst habe ich versucht, die speziellen Lösungen zu finden.
Stimmt es, dass es unterschiedliche Formeln gibt, abhängig davon, ob ich eine oder zwei Lösungen für [mm] \lambda [/mm] habe? (s.u.)
Aufgabe a)
Charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] a_1*\lambda [/mm] + [mm] a_2 [/mm] =0
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}
[/mm]
y(x) = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x}
[/mm]
y(x) nur im Falle zweier reeller Lösungen?
=>
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = - 2
[mm] \lambda_2 [/mm] = 1
y(x) = [mm] C_1*e^{-2x} [/mm] + [mm] C_2*e^{x}
[/mm]
= Allgemeine Lösung ?
Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?
Idee:
y ' (x) = [mm] \lambda*C*e^{\lambda*x} [/mm]
y '' (x) = [mm] \lambda^2*C*e^{\lambda*x}
[/mm]
Anfangswerte in y(x) einsetzen und y ' einsetzen
1 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2
[/mm]
0 = [mm] \lambda*C [/mm]
???
Aufgabe b)
Charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] a_1*\lambda [/mm] + [mm] a_2 [/mm] =0
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}
[/mm]
=>
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - 1 [mm] \pm \wurzel{1-1}
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - 1
y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{\lamdax} [/mm]
y(x) nur im Falle einer doppelten reellen Lösungen?
y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{\lambda*x} [/mm]
= Allgemeine Lösung ?
Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?
Idee:
y ' (x) = [mm] \lambda*C*e^{\lambda*x} [/mm]
y '' (x) = [mm] \lambda^2*C*e^{\lambda*x}
[/mm]
Anfangswerte in y(x) einsetzen und in y '
y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{-x}
[/mm]
5 = [mm] \lambda*C
[/mm]
???
Danke & Gruß
(wird fortgesetzt)
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Hallo hase-hh,
> Bestimmen Sie alle reellen Lösungen folgender
> Differentialgleichungen
>
> a) y '' + y ' - 2y = 0 Anfangswerte y(0)= 1 ; y ' (0)=
> 0
>
> b) y '' + 2 y ' + y = 0 Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5
>
> c) y '' + 4 y ' - 21y = 0 Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0) =
> 10
> Moin,
>
> also zunächst habe ich versucht, die speziellen Lösungen zu
> finden.
>
> Stimmt es, dass es unterschiedliche Formeln gibt, abhängig
> davon, ob ich eine oder zwei Lösungen für [mm]\lambda[/mm] habe?
> (s.u.)
Ja.
>
>
> Aufgabe a)
>
> Charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>
> y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>
> y(x) nur im Falle zweier reeller Lösungen?
>
> =>
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = - 2
> [mm]\lambda_2[/mm] = 1
>
> y(x) = [mm]C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm]
>
> = Allgemeine Lösung ?
>
> Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?
>
> Idee:
>
> y ' (x) = [mm]\lambda*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' (x) = [mm]\lambda^2*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> Anfangswerte in y(x) einsetzen und y ' einsetzen
>
> 1 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2[/mm]
>
> 0 = [mm]\lambda*C[/mm]
>
> ???
>
Leite die allgemeine Lösung ab und setze die Anfangswerte sowohl in
[mm]y\left(x\right)[/mm] als auch [mm]y'\left(x\right)[/mm] ein.
Dann entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Konstanten [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm].
>
> Aufgabe b)
>
> Charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1
>
>
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lamdax}[/mm]
>
[mm]y(x) = (C_1+C_2x)*e^{\lambda x}[/mm]
> y(x) nur im Falle einer doppelten reellen Lösungen?
>
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> = Allgemeine Lösung ?
>
> Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?
siehe a)
>
> Idee:
>
> y ' (x) = [mm]\lambda*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' (x) = [mm]\lambda^2*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> Anfangswerte in y(x) einsetzen und in y '
>
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{-x}[/mm]
>
> 5 = [mm]\lambda*C[/mm]
>
> ???
>
>
> Danke & Gruß
>
> (wird fortgesetzt)
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 18.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ok. Dann hier meine Lösungen...
> a) y '' + y ' - 2y = 0 Anfangswerte y(0)= 1 ; y ' (0)= 0
> b) y '' + 2 y ' + y = 0 Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5
> c) y '' + 4 y ' - 21y = 0 Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0)= 10
Aufgabe a)
1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung
Charakteristische Gleichung
[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}[/mm]
[mm]\lambda_1[/mm] = -2
[mm]\lambda_2[/mm] = 1
Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt
y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
=> Allgemeine Lösung
y(x) = [mm]C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm]
2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
Bilde y '
y ' (x) = [mm] -2*C_1*e^{-2x} [/mm] + [mm] C_2*e^x
[/mm]
Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '
1 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]
0 = [mm] -2C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]
bzw. [mm] C_2 [/mm] = 2 [mm] C_1 [/mm] ; [mm] C_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] C_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
=> Spezielle Lösung
y = [mm] \bruch{1}{3}*e^{-2x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}e^x [/mm]
Aufgabe b)
1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung
Charakteristische Gleichung
[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1
Achtung: Im Falle einer reellen Lösung gilt
y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lambda*x}[/mm]
=> Allgemeine Lösung
[mm]y(x) = (C_1+C_2x)*e^{-x}[/mm]
2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
Bilde y ' (Produktregel ...)
y ' (x) = [mm] C_2*e^{-x} [/mm] - [mm] (C_1+C_2*x)*e^{-x}
[/mm]
Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '
2 = [mm] C_1
[/mm]
5 = [mm] C_2 [/mm] - [mm] C_1 [/mm]
bzw. [mm] C_1 [/mm] = 2 ; [mm] C_2 [/mm] = 7
=> Spezielle Lösung
y(x) = [mm] (2+7x)*e^{-x}
[/mm]
Aufgabe c)
1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung
Charakteristische Gleichung
[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm] 2 \pm \wurzel{4 +21}[/mm]
[mm]\lambda_1[/mm] = -7
[mm]\lambda_2[/mm] = 3
Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt
y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
=> Allgemeine Lösung
y(x) = [mm]C_1*e^{-7x}[/mm] + [mm]C_2*e^{3x}[/mm]
2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
Bilde y '
y ' (x) = [mm] -7*C_1*e^{-7x} [/mm] + [mm] 3*C_2*e^{3x}
[/mm]
Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '
0 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]
10 = [mm] -7C_1 [/mm] +3 [mm] C_2 [/mm]
bzw. [mm] C_2 [/mm] = - [mm] C_1 [/mm] ; [mm] C_1 [/mm] = -1 ; [mm] C_2 [/mm] = 2
=> Spezielle Lösung
y (x) = - [mm] e^{-7x} [/mm] + [mm] e^{3x} [/mm]
Hoffe, das stimmt?!
Danke & Gruß
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