www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - homogene DGL und allg. Lösung
homogene DGL und allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

homogene DGL und allg. Lösung: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Sa 24.10.2009
Autor: StevieG

Aufgabe
2. Wir betrachten die DGL y`+y sin x= sin^3x

a) Lösen Sie die zugehörige homogene DGL
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung obiger DGL (mit Variation der Konstanten)

Hinweis: [mm] \integral sin^3 [/mm] te^-cost dt = [mm] (sin^2 [/mm] t-2cos t-2)e^-cost +c ,c [mm] \in [/mm] R

Mein Vorgehensweise bis jetzt:

y'+y sin x= sin^3x

a) homogene DGL:

y'= [mm] sin^3 [/mm] x -y sinx

homogene Teil:

y'= -y sin x

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -y sin x   / [mm] \* [/mm] dx

dy = - ysin x dx      
              /:y
[mm] \bruch{dy}{y}= [/mm] -sin x dx

[mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \integral [/mm]  - sinx dx

ln y = cos x +c   / [mm] \*e [/mm]

y = e^cosx + [mm] e^c [/mm]

|y| = [mm] \bruch{k}{x} y_{s} [/mm] = K (x)...  


Jetzt weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll? Ist das überhaupt korrekt bis jetzt?

lg


        
Bezug
homogene DGL und allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Sa 24.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> 2. Wir betrachten die DGL y'+y sin x= sin^3x
>  
> a) Lösen Sie die zugehörige homogene DGL
>  b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung obiger DGL (mit
> Variation der Konstanten)
>  
> Hinweis: [mm]\integral sin^3 te^{-cost} dt = (sin^2 t-2cos t-2)e^{-cost} +c[/mm] ,c [mm]\in[/mm] R
>  Mein Vorgehensweise bis jetzt:
>  
> y'+y sin x= sin^3x
>  
> a) homogene DGL:
>
> y'= [mm]sin^3[/mm] x -y sinx
>  
> homogene Teil:
>  
> y'= -y sin x
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = -y sin x   / [mm]\*[/mm] dx
>  
> dy = - ysin x dx      
> /:y
>  [mm]\bruch{dy}{y}=[/mm] -sin x dx
>  
> [mm]\integral \bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\integral[/mm]  - sinx dx
>  
> ln y = cos x +c   / [mm]\*e[/mm]

[ok]

>  
> y = e^cosx + [mm]e^c[/mm]

[notok]

[mm] y= e^c * e^{\cos x} [/mm],

und da [mm] $e^c$ [/mm] für [mm] $c\in \IR$ [/mm] eine postive Konstante ist, darfst du auch schreiben

[mm] y = K * e^{\cos x} [/mm].

>  
> |y| = [mm]\bruch{k}{x} y_{s}[/mm] = K (x)...  

Was willst du damit sagen?

> Jetzt weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll? Ist das
> überhaupt korrekt bis jetzt?

Hast du die ausgerechnete Lösung in die DGL eingesetzt? Das ist die schnellste Methode herauszufinden, ob es eine Lösung ist.

Du hast also jetzt die allgemeine Lösung der homogenen DGL: [mm] $y_h(x) [/mm] = K * [mm] e^{\cos x} [/mm] $. Um die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL zu bekommen, musst du irgendeine Lösung [mm] $y_p(x)$ [/mm] der inhomogenen DGL finden und zur [mm] $y_h(x)$ [/mm] addieren.

Eine Methode, [mm] $y_p(x)$ [/mm] zu finden, ist die Methode der Variation der Konstanten. Als Ansatz für [mm] $y_p(x)$ [/mm] nimmst du [mm] $y_h(x)$, [/mm] ersetzt aber die Konstante $K$ durch eine (zunächst unbekannte) Funktion $K(x)$:

  [mm] y_p(x) = K(x) * ^{\cos x} [/mm].

Diesen Ansatz setzt du in die inhomogene DGL ein; dadurch entsteht eine DGL für $K(x)$, die du lösen musst.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
homogene DGL und allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Sa 24.10.2009
Autor: StevieG

Erstmal vielen Dank für die Antworten!

ich habe soweiter gerechnet:

yh (x) = K [mm] \* [/mm] e^cosx

yp (x) = K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx


Zusammen müsste jetzt der homogene Teil und yp (x) [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] K(x)\* [/mm] e^cosx +  K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx ergeben.


Und das setze ich nun gleich mit [mm] K(x)\* [/mm] e^cosx + [mm] sin^3 [/mm] x

K(x) e^cosx +  K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx  = [mm] K(x)\* [/mm] e^cosx + [mm] sin^3 [/mm] x

K(x) e^cosx = [mm] sin^3 [/mm] x

K(x) = [mm] \bruch{sin^3 x}{e ^cosx} [/mm]

??

Bezug
                        
Bezug
homogene DGL und allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Sa 24.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

Nimm doch bitte den Formeleditor, so kann das ja keiner vernünftig lesen.

> Erstmal vielen Dank für die Antworten!
>  
> ich habe soweiter gerechnet:
>  
> yh (x) = K [mm]\*[/mm] e^cosx
>  
> yp (x) = K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx
>  
>
> Zusammen müsste jetzt der homogene Teil und yp (x)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx +  K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx ergeben.
>  
>
> Und das setze ich nun gleich mit [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx + [mm]sin^3[/mm] x
>  
> K(x) e^cosx +  K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx  = [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx + [mm]sin^3[/mm] x
>  
> K(x) e^cosx = [mm]sin^3[/mm] x
>  
> K(x) = [mm]\bruch{sin^3 x}{e ^cosx}[/mm]
>  
> ??  

Ich verstehe überhaupt nicht, was du da gerechnet hast. Wo hast du denn [mm] $y_p$ [/mm] abgeleitet? Setze $K(x) [mm] e^{\cos x}$ [/mm] für $y$ in die DGL [mm] $y'+y\sin [/mm] x [mm] =\sin^3 [/mm] x$ ein!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
homogene DGL und allg. Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Sa 24.10.2009
Autor: StevieG

Tut mir leid ich krieg das irgend wie nicht hin ich werde mich bessern.

dh ich muss in die Ausgangsgleichung in y :     [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm]  einsetzen.

Die Ableitung von [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm] wäre doch dann [mm] k'(x)\*e^{cosx}. [/mm]

dann :

[mm] k'(x)\*e^{cosx} [/mm] + [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm] = [mm] sin^3 [/mm] x


Dann kann ich aber nicht auflösen, irgend was is da falsch wahrsheinlich die Ableitung?



Bezug
                                        
Bezug
homogene DGL und allg. Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Sa 24.10.2009
Autor: MathePower

Hallo StevieG,

> Tut mir leid ich krieg das irgend wie nicht hin ich werde
> mich bessern.
>  
> dh ich muss in die Ausgangsgleichung in y :    
> [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm]  einsetzen.
>  
> Die Ableitung von [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm] wäre doch dann
> [mm]k'(x)\*e^{cosx}.[/mm]


Die Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.


>  
> dann :
>  
> [mm]k'(x)\*e^{cosx}[/mm] + [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm] = [mm]sin^3[/mm] x
>  
>
> Dann kann ich aber nicht auflösen, irgend was is da falsch
> wahrsheinlich die Ableitung?
>  

>


Hier muß doch stehen:

[mm]\left( \ k\left(x\right)*e^{cos\left(x\right)}\ \right)'+\blue{\sin\left(x\right)}*k\left(x\right)*e^{\cos\left(x\right)}=\sin^{3}\left(x\right)[/mm]



Gruss
MathePower  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]