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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Mi 19.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | | Zeigen Sie. Ein lineares Gleichungssystem A*x=0 mit einer Koeffizientenmatrix A [mm] \in [/mm] M(m [mm] \times [/mm] n, [mm] \IR) [/mm] deren Elemente alle ganzzahlig sind, und einer nicht-trivialen Lösung besitzt immer eine Lösung x [mm] \in \IZ^n [/mm] |
Hi,
es müsste ja genügen zu zeigen, dass es eine Lösung in [mm] \IQ^n [/mm] gibt. Mit dem Hauptnenner multipliziert wäre diese ja dann ganzzahlig.
Wenn ich mir eine fertig mit Gauß bearbeitete Matrix vorstelle bei der es sicher auch eine nichttriviale Lösung gibt ist klar, dass aus ganzzahligen Matrixelementen nichts irrationales werden kann.
Ich habe allerdings keinen wirklichen Plan wie ich das ganze einigermaßen wasserdicht aufschreiben soll.
Ist meine Idee überhaupt richtig und wie geht man sinnvoll vor wenn man das als Beweis darstellen soll?
Im Übrigen meine ich, dass die Aufgabe etwas unglücklich formuliert ist, sodass man auch die triviale Lösung als x [mm] \in \IZ^n [/mm] angeben könnte.
Aber ich möchte die Aufgabe schon gerne so bearbeiten, wie sie gedacht ist ;)
Vielen Dank für eure Mühe!
lg UNR8D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Mi 19.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Na die Idee hast du ja schon erkannt. Wenn der Lösungsraum von [mm] $b_1,\ldots ,b_n$ [/mm] ausgespannt wird, dann ist jede Linearkombination von den Basisvektoren eine Lösung. Somit kannst du mit dem kgv jeden Vektor ganzzahlig machen.
Das auflösen nach der Gaußelimination ist Addition/Subtraktion und Mult/Division in [mm] $\IQ$. [/mm] Das ist ein Körper und der ist gegen soetwas abgeschlossen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Do 20.01.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
danke für die Antwort.
Ich hab das jetzt auch mal so ungefähr aufgeschrieben. Mir ist immer so n klein wenig unwohl wenn ein "Beweis" nur aus (groben) Erklärungen besteht aber es ist ja zweifellos richtig und verständlich was gemeint ist.
lg UNR8D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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