homog. lineare DGL 1. Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Tanden |
y'(t) = y(t) - x(t)
x'(t) = 2y(t) + 4x(t)
Voraussetzungen:
I. y(0) = 10
II. x(0) = 0
Nun wir hatten DGLen noch nicht und ich wollte fragen wie man diese lösen könnte. Tipps wären für den Anfang sehr hilfreich. Dankeschön.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mi 13.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Lösung bestimmen
> y'(t) = y(t) - x(t)
> x'(t) = 2y(t) + 4x(t)
>
>
> Voraussetzungen:
> I. y(0) = 10
> II. x(0) = 0
>
Am besten du schreibst dir das erstmal um:
[mm] \vektor{y'(t) \\ x'(t)} [/mm] = [mm] \pmat{1 & -1 \\ 2 & 4}*\vektor{y(t) \\ x(t)}
[/mm]
Jetzt musst du die Eigenwerte und Basen zu den Eigenräumen von A:= [mm] \pmat{1 & -1 \\ 2 & 4} [/mm] bestimmen. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] c_1 B_1 e^{\lambda_1t}+ c_2 B_2 e^{\lambda_2t}, [/mm] wobei [mm] \lambda_{1,2} [/mm] die Eigenwerte sind [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] die Basen der Eigenräume [mm] E(\lambda_1) [/mm] und [mm] E(\lambda_2) [/mm] und [mm] c_1, c_2 [/mm] beliebig. Für die spezielle Lösung setzt du die allgemeine Lösung = [mm] \vektor{10 \\ 0} [/mm] und rechnest die [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] konkret aus.
Viel Erfolg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 14.06.2012 | | Autor: | Tanden |
Erst einmal möchte ich mich für deine schnelle Antwort bedanken! Ein paar Fragen habe ich noch.
Als EW's bekomme ich 2 und 3. Als Basen [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1}.
[/mm]
Diese in die Formel eingesetzt ergibt
[mm] C_1\vektor{-1 \\ 2}e^{2t} [/mm] + [mm] C_2\vektor{-1 \\ 1}e^{3t} [/mm] = [mm] \vektor{10\\0}
[/mm]
I. [mm] -C_1*e^2t [/mm] - [mm] C_2*e^3t [/mm] = 10
II. [mm] 2*C_1*e^{2t} [/mm] + [mm] C_2*e^{3t} [/mm] = 0
Hab ich das soweit richtig gemacht?
|
|
|
| |
|
Hallo Tanden,
> Erst einmal möchte ich mich für deine schnelle Antwort
> bedanken! Ein paar Fragen habe ich noch.
>
> Als EW's bekomme ich 2 und 3. Als Basen [mm]\vektor{-1 \\
2}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\
1}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber ein EV zum EW [mm] $\lambda=2$ [/mm] ist [mm] $\vektor{-1\\1}$ [/mm] und entsprechend [mm] $\vektor{-1\\2}$ [/mm] einer zu [mm] $\lambda=3$
[/mm]
> Diese in die Formel eingesetzt
> ergibt
> [mm]C_1\vektor{-1 \\
2}e^{2t}[/mm] + [mm]C_2\vektor{-1 \\
1}e^{3t}[/mm] = [mm]\vektor{10\\
0}[/mm]
> I. [mm]-C_1*e^2t[/mm] - [mm]C_2*e^3t[/mm] = 10
Exponenten musst du in geschweifte Klammern setzen!
> II. [mm]2*C_1*e^{2t}[/mm] + [mm]C_2*e^{3t}[/mm] = 0
> Hab ich das soweit richtig gemacht?
Du hast die Zuordnungen zwischen den EVen und EWen verdreht ...
Ansonsten ist das ok!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 14.06.2012 | | Autor: | teo |
> Erst einmal möchte ich mich für deine schnelle Antwort
> bedanken! Ein paar Fragen habe ich noch.
>
> Als EW's bekomme ich 2 und 3. Als Basen [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
> und [mm]\vektor{-1 \\ 1}.[/mm]
> Diese in die Formel eingesetzt
> ergibt
> [mm]C_1\vektor{-1 \\ 2}e^{2t}[/mm] + [mm]C_2\vektor{-1 \\ 1}e^{3t}[/mm] =
> [mm]\vektor{10\\0}[/mm]
> I. [mm]-C_1*e^2t[/mm] - [mm]C_2*e^3t[/mm] = 10
> II. [mm]2*C_1*e^{2t}[/mm] + [mm]C_2*e^{3t}[/mm] = 0
> Hab ich das soweit richtig gemacht?
Du musst t = 0 setzen. Das ist ja die Anfangswertbedingung. Also y(0)=10 und x(0)=0. Dann kannst du [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] auch konkret ausrechnen und die spezielle Lösung angeben.
Grüße
|
|
|
|
