holomorphe funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Fr 10.08.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Entscheiden Sie jeweils, ob es holomorphe Funktionen auf [mm] B_{1}(0) [/mm] gibt, welche die angegebenen Bedingungen erfüllen und begründen Sie Ihre Entscheidung.
(a) [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n+1}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und f ist nicht konstant.
(b) [mm] f^{(n)}(0)=(n!)^{2} [/mm] |
Zu (a) würde ich sagnen, dass es keine nicht konstant Funktion f gibt.
Ich habs mir so überlegt, weil f ja beschränkt sein muss, wenn [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n+1}) [/mm] gelten soll und somit ist f konstant.
Ist die Idee richtig?
zu (b) fällt mir kein Ansatz ein.
[mm] f^{(n)}(0) [/mm] erinnert mich an den Identitätssatz, aber damit komm ich irgendwie nicht weiter.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Fr 10.08.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entscheiden Sie jeweils, ob es holomorphe Funktionen auf
> [mm]B_{1}(0)[/mm] gibt, welche die angegebenen Bedingungen erfüllen
> und begründen Sie Ihre Entscheidung.
>
> (a) [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]f(\bruch{1}{n+1})[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> und f ist nicht konstant.
> (b) [mm]f^{(n)}(0)=(n!)^{2}[/mm]
> Zu (a) würde ich sagnen, dass es keine nicht konstant
> Funktion f gibt.
> Ich habs mir so überlegt, weil f ja beschränkt sein muss,
Warum das?
> wenn [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]f(\bruch{1}{n+1})[/mm] gelten soll und
> somit ist f konstant.
> Ist die Idee richtig?
Mein Argument: Wenn ich die Funktionswerte einer holom. Fkt. auf Punkten kenne, die sich im Definitionsgebiet häufen, dann ist die Funktion damit eindeutig bestimmt und ich kann alle ihre Ableitungen im Häufungspunkt berechnen (hier = 0), also konstant.
> zu (b) fällt mir kein Ansatz ein.
> [mm]f^{(n)}(0)[/mm] erinnert mich an den Identitätssatz, aber damit
> komm ich irgendwie nicht weiter.
Du kannst damit die Potenzreihenentwicklung in 0 hinschreiben, ihr Konvergenzradius ist = 0.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Vielen Dank.
Ich habs aber leider noch nicht ganz verstanden.
zu (a) wieso sind die Ableitungen gleich Null?
kann ich das Maximusprinzip hier nicht anwenden?
zu (b) wie kann ich denn die funktion in eine Potenzreihe entwickeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 10.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> zu (b) wie kann ich denn die funktion in eine Potenzreihe
> entwickeln?
Nach dem Satz von Taylor ist ja $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$. [/mm] Und jetzt kennst du [mm] $f^{(k)}(0)$ [/mm] fuer jedes $k [mm] \in \IN$, [/mm] womit du also die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $0$ kennst.
(Und da $f$ auf [mm] $B_0(1)$ [/mm] holomorph sein soll, muss der Konvergenzradius mindestens 1 sein.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 13.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Fr 10.08.2007 | | Autor: | felixf |
Moin Dieter!
> > Entscheiden Sie jeweils, ob es holomorphe Funktionen auf
> > [mm]B_{1}(0)[/mm] gibt, welche die angegebenen Bedingungen erfüllen
> > und begründen Sie Ihre Entscheidung.
> >
> > (a) [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]f(\bruch{1}{n+1})[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> > und f ist nicht konstant.
>
> > wenn [mm]f(\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]f(\bruch{1}{n+1})[/mm] gelten soll und
> > somit ist f konstant.
> > Ist die Idee richtig?
>
> Mein Argument: Wenn ich die Funktionswerte einer holom.
> Fkt. auf Punkten kenne, die sich im Definitionsgebiet
> häufen, dann ist die Funktion damit eindeutig bestimmt
Soweit ok.
> und
> ich kann alle ihre Ableitungen im Häufungspunkt berechnen
> (hier = 0),
Das versteh ich jetzt nicht. Du kannst doch erstmal nur die erste Ableitung im Haeufungspunkt berechnen?
Und wozu brauchst du die Ableitungen ueberhaupt? Man nimmt einfach die holomorphe Funktion, die auf ganz [mm] $B_1(0)$ [/mm] konstant den Wert [mm] $f(\frac{1}{n})$ [/mm] fuer irgendein $n$ annimmt (also mit $f$ an allen Stellen [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] uebereinstimmt), und nach dem Identitaetssatz folgt dann schon $f = g$ auf ganz [mm] $B_1(0)$, [/mm] also $f$ konstant.
LG Felix
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