holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 10.05.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, ob es eine um 0 holomorphe Funktion f gibt, so dass für fast alle n [mm] \in \IN\{0} [/mm] gilt:
[mm] |f^{(n)}(0)| \ge (n!)^{2} [/mm] |
Ich habe gedacht, dass ich eventuell mit folgendem Argument weiterkomme:
Falls f hol. um 0 [mm] \Rightarrow \exists \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^n [/mm] mit R > 0.
Könnte ich somit dann einen Widerspruch herleiten, in der Form, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^n [/mm] = 0.
Daraus würde ja dann folgen, dass keine um 0 holomorphe Funktion f existiert mit der geforderten Bedingung.
Doch wie kann ich diesen Widerspruch herleiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 10.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie, ob es eine um 0 holomorphe Funktion f gibt,
> so dass für fast alle n [mm]\in \IN\{0}[/mm] gilt:
>
> [mm]|f^{(n)}(0)| \ge (n!)^{2}[/mm]
> Ich habe gedacht, dass ich
> eventuell mit folgendem Argument weiterkomme:
>
> Falls f hol. um 0 [mm]\Rightarrow \exists \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^n[/mm]
> mit R > 0.
> Könnte ich somit dann einen Widerspruch herleiten, in der
> Form, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^n[/mm] = 0.
> Daraus würde ja dann folgen, dass keine um 0 holomorphe
> Funktion f existiert mit der geforderten Bedingung.
> Doch wie kann ich diesen Widerspruch herleiten?
Überleg dir, wie die [mm] $|f^{(n)}(0)|$ [/mm] mit dem Konvergenzradius der Reihe zusammenhängen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 10.05.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo
> Überleg dir, wie die [mm]|f^{(n)}(0)|[/mm] mit dem Konvergenzradius
> der Reihe zusammenhängen!
Ja aber ich habe doch gar keine Angaben, wie die Funktion f überhaupt aussehen sollte. Ich weiss einfach nur, dass [mm] |f^{(n)}(0)| [/mm] grössergleich [mm] (n!)^{2} [/mm] sein muss. Wie erhalte ich da einen Anhaltspunkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gibt ein r>0, so , dass
$f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] für|z|<r.
Die Potenzreihe rechts hat also Konvergenzradius [mm] \ge [/mm] r.
Es gilt
[mm] $\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] 0
Also ist nach Vor:: [mm] $|a_n| \ge [/mm] n!$.
Das bedeutet aber, dass obige Potenzreihe Konvergenzradius 0 hat !!
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Mo 11.05.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo Fred,
Vielen Dank, das hat sehr geholfen.
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