holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 03.12.2008 | | Autor: | gnom |
| Aufgabe | Es gibt keine holomorphe Funktion f:C->C mit der Eigenschaft
f(C)={z Element C: Im z>0, Re z>=} |
Hallo an alle,
meine Fragen zu dieser Aufgabe.
Es ist für jede holomorphe Funktion f:C->C durch g:C->C ; z-> exp(-f(z)) eine holomorphe Funktion gegeben. Warum ist das so? und Warum wähle ich hier z-> exp(-f(z)) und nicht z-> exp(+f(z)) ?
wenn ich mir jetzt [mm]|g(z)| = | e^{-f(z)}|= e^{-Re f(z)}[/mm] anschaue, dann kann ich [mm]e^{-Re f(z)}<=1[/mm] abschätzen.
Aber warum ist [mm]e^{-Re f(z)}[/mm] kleiner gleich 1. das verstehe ich nicht?
Daraus folgt dann dass, das Bild von g beschränkt ist.
Nach Satz von Liouville ist g dann konstant.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Grüße gnom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es gibt keine holomorphe Funktion f:C->C mit der
> Eigenschaft
>
> f(C)={z Element C: Im z>0, Re z>=}
Was steht hier ? Re z [mm] \ge [/mm] 0 ? Wenn ja, so ist die Frage einfach zu beantworten:
Die Menge { z [mm] \in \IC [/mm] : Imz>0, Re z [mm] \ge [/mm] 0} ist nicht offen.
Für eine holomorphe Fkt. f [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] ist aber [mm] f(\IC) [/mm] offen oder einelementig.
FRED
> Hallo an alle,
>
> meine Fragen zu dieser Aufgabe.
> Es ist für jede holomorphe Funktion f:C->C durch g:C->C ;
> z-> exp(-f(z)) eine holomorphe Funktion gegeben. Warum ist
> das so? und Warum wähle ich hier z-> exp(-f(z)) und nicht
> z-> exp(+f(z)) ?
>
> wenn ich mir jetzt [mm]|g(z)| = | e^{-f(z)}|= e^{-Re f(z)}[/mm]
> anschaue, dann kann ich [mm]e^{-Re f(z)}<=1[/mm] abschätzen.
> Aber warum ist [mm]e^{-Re f(z)}[/mm] kleiner gleich 1. das verstehe
> ich nicht?
>
> Daraus folgt dann dass, das Bild von g beschränkt ist.
>
> Nach Satz von Liouville ist g dann konstant.
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> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Grüße gnom
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 03.12.2008 | | Autor: | gnom |
Sorry, die Angabe heißt: Es gibt keine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: f(C)={z Element C: Im z>0, Re z>0}
meine Fragen zu dieser Aufgabe.
Es ist für jede holomorphe Funktion f:C->C durch g:C->C ; z-> exp(-f(z)) eine holomorphe Funktion gegeben. Warum ist
das so? und Warum wähle ich hier z-> exp(-f(z)) und nicht
z-> exp(+f(z)) ?
> >
wenn ich mir jetzt [mm]|g(z)| = | e^{-f(z)}|= e^{-Re f(z)}[/mm]
anschaue, dann kann ich [mm]e^{-Re f(z)}<=1[/mm] abschätzen.
Aber warum ist [mm]e^{-Re f(z)}[/mm] kleiner gleich 1. das verstehe
ich nicht?
Daraus folgt dann dass, das Bild von g beschränkt ist.
Nach Satz von Liouville ist g dann konstant.
> >
Hoffe ihr könnt mir helfen.
> > Grüße gnom
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, die Angabe heißt: Es gibt keine holomorphe Funktion
> mit der Eigenschaft: f(C)={z Element C: Im z>0, Re z>0}
>
> meine Fragen zu dieser Aufgabe.
> Es ist für jede holomorphe Funktion f:C->C durch g:C->C ;
> z-> exp(-f(z)) eine holomorphe Funktion gegeben. Warum ist
> das so?
Die verkettung holomorpher Funktionen ist holomorph !
und Warum wähle ich hier z-> exp(-f(z)) und nicht
> z-> exp(+f(z)) ?
Weil Du mit der Wahl g(z) = [mm] e^{-f(z)} [/mm] die Aufgabe lösen kannst !!!!!
> > >
> wenn ich mir jetzt [mm]|g(z)| = | e^{-f(z)}|= e^{-Re f(z)}[/mm]
> anschaue, dann kann ich [mm]e^{-Re f(z)}<=1[/mm] abschätzen.
> Aber warum ist [mm]e^{-Re f(z)}[/mm] kleiner gleich 1. das verstehe
> ich nicht?
Wir haben doch angenommen: f(C)={z Element C: Im z>0, Re z>0},
also ist Ref(z) > 0 für jedes z, somit -Ref(z) < 0 für jedes z, daher |g(z)| < 1 für jedes z. g ist also beschränkt
FRED
>
> Daraus folgt dann dass, das Bild von g beschränkt ist.
>
> Nach Satz von Liouville ist g dann konstant.
> > >
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> > > Grüße gnom
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