holomorphe Funktione < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 07.06.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Laut Satz gilt:
Sei U ein Gebiet und [mm] f:U\to\IC [/mm] stetig, dann besitzt f eine Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm] F:U\to\IC [/mm] was gleichbedeutend ist, also [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm] = 0 für jede geschlossene stetige Kurve [mm] \gamma [/mm] in U
Meine Frage: Wenn ich die Funktion [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] betrachte. Diese Funktion ist auf ganz [mm] \IC [/mm] stetig und müsste somit eine holomorphe Stammfunktion besitzen.
Aber [mm] \integral_{\gamma}^{}{\overline{z} dz} [/mm] ist doch nicht für jede geschlossene Kurve = 0 und zudem ist ja eine holomorphe Funktion unendlich oft diffbar.
Wenn ich die Stammfunktion von [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] komplex differenziere, also [mm] F'(z)=f(z)=\overline{z}. [/mm]
Aber [mm] F''(z)=(\overline{z})' [/mm] ist nicht komplex diffbar!!
Ich weiß nicht, wo mein Fehler ist. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mi 07.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
> Hallo!
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> Laut Satz gilt:
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> Sei U ein Gebiet und [mm]f:U\to\IC[/mm] stetig, dann besitzt f eine
> Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm]F:U\to\IC[/mm] was
> gleichbedeutend ist, also [mm]\gdw[/mm]
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> [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] = 0 für jede geschlossene
> stetige Kurve [mm]\gamma[/mm] in U.
Dieses was gleichbedeutend ist sollte man weglassen das ist hier fehl am Platz. Der Satz geht also so:
Sei U ein Gebiet und [mm]f:U\to\IC[/mm] stetig, dann besitzt f eine
Stammfunktion, die holomorph ist, mit [mm]F:U\to\IC[/mm] genau dann wenn [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz}[/mm] = 0 für jede geschlossene stetige Kurve [mm]\gamma[/mm] in U.
Die Stammfunktion kann dann definiert werden durch F(z)= [mm] \integral_{a}^{z}{f(x) dx} [/mm] da das Integral ja wegunabhängig ist.
D.h. also es reicht nicht das f auf U stetig ist damit eine Stammfunktion existiert. Wie dein Bsp. ja auch zeigt.
Gruß
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