hol. Fkt. auf Riemann. Fläche < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 14.11.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Es seien [mm] $p_1,...,p_n, ~~n\ge [/mm] 1$ Punkte auf einer kompakten Riemannschen Fläche $X$ und $Y := [mm] X\backslash \{p_1,...,p_n\}$. [/mm] Es sei $f: Y [mm] \rightarrow \IC$ [/mm] eine nicht-konstante holomorphe Funktion. Zeigen sie:
jede Umgebung eines jeden [mm] $c\in \IC$ [/mm] schneidet das Bild von $f$ (mit anderen Worten: $f(Y)$ kommt beliebig nahe an jeden Punkt [mm] $c\in \IC$ [/mm] heran). |
Hi
Ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht voran. Wie fängt man denn da am besten an?
Vielen Dank
algieba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien [mm]p_1,...,p_n, ~~n\ge 1[/mm] Punkte auf einer kompakten
> Riemannschen Fläche [mm]X[/mm] und [mm]Y := X\backslash \{p_1,...,p_n\}[/mm].
> Es sei [mm]f: Y \rightarrow \IC[/mm] eine nicht-konstante holomorphe
> Funktion. Zeigen sie:
> jede Umgebung eines jeden [mm]c\in \IC[/mm] schneidet das Bild von
> [mm]f[/mm] (mit anderen Worten: [mm]f(Y)[/mm] kommt beliebig nahe an jeden
> Punkt [mm]c\in \IC[/mm] heran).
> Hi
>
> Ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht voran. Wie
> fängt man denn da am besten an?
Wenn die Aussage falsch ist, gibt es ein $c [mm] \in \IC$ [/mm] und ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $|f(y) - c| [mm] \ge \varepsilon$ [/mm] fuer alle $y [mm] \in [/mm] Y$.
Schau jetzt $g(y) := [mm] \frac{1}{f(y) - c}$ [/mm] an; dies ist ebenfalls holomorph auf $Y$, und es gilt $|g(y)| [mm] \le \frac{1}{\varepsion}$ [/mm] fuer alle $y [mm] \in [/mm] Y$.
Kannst du damit etwas anfangen?
Tipp: zeige, dass du $g$ zu einer holomorphen Funktion auf $X$ fortsetzen kannst.
LG Felix
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