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| Aufgabe | gegeben ist
a)das volumen eines tetraeders
b) das volumen einer pyramide
gesucht: höhe |
zu a) es gibt ja die formel fürs volumen einer pyramide
V= [mm] \bruch{1}{3}Gh
[/mm]
und eine pyramide kann man ja in zwei tetraeder zerlegen.
kann man damit was anfangen? was ist dann in dem fall die grundfläche G? wie berechnet man also die höhe eines tetraeders?
zu b) das geht ja dann auf alle fälle mit der formel, oder? also einfach nach h auflösen, oder? G ist in diesem fall ja dann ein viereck, oder?
danke...:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zu (b):
Das Volumen $V$ einer Pyramide lässt sich bekanntlich aus der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ bestimmen. Die Formel lautet
[mm] $V=\frac{1}{3}G\cdot [/mm] h$
Falls wir das Volumen und die Grundfläche (!!!) kennen, dann lässt sich die Höhe berechnen durch
[mm] $h=\frac{3\cdot V}{G}$ [/mm]
Dabei habe ich die erste Gleichung mit 3 multipliziert und durch $G$ dividiert auf beiden Seiten. Bemerke: Zur Berechnung der Höhe $h$ benötigst Du also die Grundfläche und das Volumen.
zu (a):
Ein Tetraeder ist bekanntlich (griech.: tetráedron = Vierflächner) ein Körper mit vier Seitenwänden, ALSO "KEIN VIERECK" SONDERN EIN "DREIECK"! Die Volumenformel ist genau dieselbe wie oben. Alles verläuft wie im Falle der Pyramide. Du benötigst hier ebenso die Grundfläche $G$ und das Volumen $V$ um die Höhe $h$ zu berechnen:
[mm] $h=\frac{3\cdot V}{G}$ [/mm]
Nur so am Rande: Beachte, dass die dreieckige Grundfläche NICHT NOTWENDIG einen rechten Winkel besitzen muss.
Gruß Denny
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danke:)
aber muss dir volumenformel des tetraeders nicht
[mm] \bruch{1}{6}Gh [/mm] sein?
also, wenn jetzt das volumen eines tetraeders gegeben wäre und ich die höhe berechnen müsste, wie mach ich das dann?
volumen eines tetraeders kann man ja ganz leicht mit der formel
[mm] \bruch{1}{6}\left| det(\vec a, \vec b,\vec c) \right| [/mm] berechnen.
aber was, wenn die höhe geushct ist?
es ist doch so, dass, wenn ich ein tetraeder verdoppele, ich eine pyramide erhalte. und das volumen der pyramide kann man ja mit der formel [mm] \bruch{1}{3}Gh [/mm] berechnen. kann man dann nicht sagen, dass das volumen des tetraeders [mm] \bruch{1}{6}Gh [/mm] ist? oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 06.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> aber muss dir volumenformel des tetraeders nicht
> [mm]\bruch{1}{6}Gh[/mm] sein?
Wenn Du eine Pyramide vorliegen hast und schneidest diese in 2 gleiche Tetraeder, dann stimmt diese Formel, wobei $G$ die Grundfläche der Pyramide ist. D.h. Du teilst die Grundfläche der Pyramide in zwei Teile und behälst die Höhe bei. Achtung: Ich weiß zwar nicht warum du zum lösen von Teil b) den Teil a) verwenden möchtest, aber beachte, dass eine Pyramide nicht notwendig vier Seitenwände haben muss, es können auch durchaus mehr als 4 sein und damit kann die Grundfläche mehr als 4 Ecken haben und damit bekommst Du beim Teilen der Pyramide kEINE zwei Tetraeder.
> also, wenn jetzt das volumen eines tetraeders gegeben wäre
> und ich die höhe berechnen müsste, wie mach ich das dann?
Du kannst Dir sicherlich vorstellen, dass das Volumen alleine nicht genügt. Ohne die Kenntnis über die Größe der Grundfläche ist die nicht möglich. Du könntest das Tetraeder zu einem anderen Tetraeder verformen, wobei das Volumen gleich bleibt, aber die Höhe sich ändert. Du musst auf alle Fälle mehr wissen, als nur das Volumen, um Aussagen über die Höhe treffen zu können.
> volumen eines tetraeders kann man ja ganz leicht mit der
> formel
> [mm]\bruch{1}{6}\left| det(\vec a, \vec b,\vec c) \right|[/mm]
> berechnen.
Das stimmt! In diesem Fall hast Du Vektoren gegeben. Das ist wesentlich mehr als nur das Volumen. Die Vektoren bilden eine Pyramide mit vier Seitenwänden. Ein drittel mal die Determinante entspricht dam Volumen der Pyramide. Dies mit ein halb multipliziert ergibt das Volumen eines ganz bestimmten Tetraeders, dessen Höhe dieselbe ist, wie die der Pyramide.
Daraus resultiert dann die Höhe.
> aber was, wenn die höhe geushct ist?
Wenn zum Beispiel die Vektoren $a$ und $b$ die Grundfläche aufspannen, dann suchst Du Dir den Mittelpunkt dieser Fläche (den erhälst Du, wenn Du den Vektor von $a$ nach $b$ nimmt und jede dieser Koordinaten durch die Länge dieses Vektors teilst). Damit hast Du einen bestimmten Punkt. Ich nenne den jetzt mal $F$. Der Vektor $c$ ist nun sowas wie eine Kante der Seitenwand, d.h. dieser Vektor endet genau auf der Spitze $S$ der Pyramide. Damit hast Du Deinen zweiten Punkt $F$ und $S$. Ziehst Du nun diese Punkte voneinander ab, so bekommst Du einen Punkt $F-S$ der vom Nullpunkt genau so weit entfernt ist, wie die Pyramide hoch ist. Berechne nun den Betrag dieses Vektors (d.h. Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst) und du bekommst die Höhe.
> es ist doch so, dass, wenn ich ein tetraeder verdoppele,
> ich eine pyramide erhalte.
Ja, eine Pyramide mit 4 (!!!) Seitenwänden, dessen Grundfläche nicht notwendig Quadrat (sonder vielleicht eine Raute) sein kann. Also eine bestimmte Pyramide.
> und das volumen der pyramide
> kann man ja mit der formel [mm]\bruch{1}{3}Gh[/mm] berechnen.
Ja. Da dies die Formel für allgemeine Pyramiden mit $n$ Seitenwänden ist, kannst Du natürlich auch das Volumen Deiner Pyramide mit 4 Wänden damit berechnen.
> man dann nicht sagen, dass das volumen des tetraeders
> [mm]\bruch{1}{6}Gh[/mm] ist? oder nicht?
Im allgemeinen kann man sagen, dass das Volumen eines Tetraeders
[mm] $V=\frac{1}{3}Gh$
[/mm]
ist. Jetzt kommt's: Wenn Du auf der Internetseite
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder
schaust, dann findest Du Formeln für ein bestimmtes Tetraeder, nämlich ein Tetraeder, bei dem alle Seiten $a$ gleich lang sind (!!!). Das Volumen ist dann gegeben durch:
[mm] $V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
[/mm]
und in diesem speziellen Fall, lässt sich die Höhe NUR durch das Volumen bestimmen:
[mm] $h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$
[/mm]
Ich hoffe, dass dir das weitergeholfen hat.
Gruß Denny
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