hinr. UND notw. Bedingung < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Aussage A = n und m sind
zwei ganze Zahlen deren Produkt strikt negativ und deren Summe strikt positiv
ist. Geben Sie jeweils eine (nichttriviale) Bedingung für n und m in
Mengenschreibweise an, die für A
a) hinreichend, aber nicht notwendig ist
b) notwendig aber nicht hinreichend ist
c) hinreichend und notwendig ist |
**Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.**
Bei a) n,m [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] eingetragen
Bei b) n * m < 0 und n + m > 0 eingetragen
Bei c) hab ich so meine Probleme eine Bedingung zu finden, die hinreichend und notwendig ist. Mit folgendem Ansatz habe ich es versucht:
Es existiert ein n [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] für das ein x [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm] existiert, für das gilt : n = -x
und
Es existiert ein m [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] für das ein x [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm] existiert, für das gilt : m = x + 1
wenn mann nun z.B. 2 für x einsetzt, kommt "n = -2" und "m = 3" heraus.
Somit würde die Aussage A "(-2) * 3 < 0" und "(-2) + 3 = 1" ja stimmen.
Ist meine Vorgehensweise nun schlüssig und rechtens oder bin ich gänzlich auf dem Holzweg? Sind die in a) b) und c) genannten Bedingungen nichttrivial oder habe ich etwas falsch verstanden?
Ich tu mich momentan etwas schwer mit dem Einstieg in Mathe im Studium, da mein Schulmathe schon einige Jahre her ist.
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Hallo Babblefish,
ich gebe dir mal meine Interpretationen wieder:
> Gegeben sei die Aussage A = n und m sind
> zwei ganze Zahlen deren Produkt strikt negativ und deren
> Summe strikt positiv
> ist. Geben Sie jeweils eine (nichttriviale) Bedingung für
> n und m in
> Mengenschreibweise an, die für A
>
> a) hinreichend, aber nicht notwendig ist
>
> b) notwendig aber nicht hinreichend ist
>
> c) hinreichend und notwendig ist
> **Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.**
>
>
> Bei a) n,m [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] eingetragen
"Hinreichend" bedeutet, dass die Bedingung, die du hier nennst, alleine schon genügt, dass die Aussage über die n und m stimmt. Da sie nicht notwendig sein muss, bedeutet das, dass die hier anzugebende Bedingung viel "schärfer" sein kann als unbedingt notwendig. So könntest du z.B. n [mm] \in [/mm] {-3,-4,-5} [mm] \wedge [/mm] m [mm] \in [/mm] {6, 7, 8} als Bedingung fordern. Diese Zahlen erfüllen die Aussage (klar), aber es ist natürlich nicht notwendig, dass es diese Zahlen sein müssen.
Ich denke auch nicht, dass mein Vorschlag trivial ist - aber da bin ich mir nicht sicher, weil ich die Ansprüche bei euch nicht kenne...
>
> Bei b) n * m < 0 und n + m > 0 eingetragen
Das ist ja keine Mengenschreibweise...
Notwendig bedeutet, dass die hier angegebene Bedingung auf jeden Fall erfüllt sein muss, aber dass sie alleine noch nicht reicht, um eine wahre Aussage zu bekommen. Die (meiner Ansicht nach) triviale Bedingung wäre hier n,m [mm] \in \IZ [/mm] .
Aber da das Produkt negativ sein soll, könnte man hier etwa schreiben: n [mm] \in \IZ^+ \wedge [/mm] m [mm] \in \IZ^-.
[/mm]
Das ist unbedingt notwendig, aber das reicht noch nicht, um eine wahre Aussage zu bekommen.
>
> Bei c) hab ich so meine Probleme eine Bedingung zu finden,
> die hinreichend und notwendig ist. Mit folgendem Ansatz
> habe ich es versucht:
>
> Es existiert ein n [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] für das ein x [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm]
> existiert, für das gilt : n = -x
>
> und
>
> Es existiert ein m [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] für das ein x [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm]
> existiert, für das gilt : m = x + 1
>
> wenn mann nun z.B. 2 für x einsetzt, kommt "n = -2" und
> "m = 3" heraus.
> Somit würde die Aussage A "(-2) * 3 < 0" und "(-2) + 3 =
> 1" ja stimmen.
>
> Ist meine Vorgehensweise nun schlüssig und rechtens oder
> bin ich gänzlich auf dem Holzweg? Sind die in a) b) und c)
> genannten Bedingungen nichttrivial oder habe ich etwas
> falsch verstanden?
>
> Ich tu mich momentan etwas schwer mit dem Einstieg in Mathe
> im Studium, da mein Schulmathe schon einige Jahre her ist.
>
>
Vielleicht hast du ja jetzt eine Idee für c) bekommen. Du suchst also jetzt die Bedingung, die dir genau diese Aussage liefert, d.h. du musst genau das angeben, was nötig ist, damit sie stimmt, nicht mehr (wie in a) aber auch nicht weniger (wie in b).
Dein Ansatz ist schon garnicht so schlecht (meiner Meinung nach), allerdings kann die zweite Zahl (betragsmäßig) ja auch um noch mehr als nur um 1 größer sein.
Ich tue mich da ein wenig schwer, denn eigentlich müsste man für n alle negativen Zahlen zulassen und für m dann nur die, deren Betrag größer ist als der Betrag der kleinsten Zahl für n - "die kleinste" gibt es aber in [mm] \IZ [/mm] nicht.
Naja, vielleicht bekommst du hier ja noch ein paar Tipps  .
Gruß,
Martin
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| Aufgabe | Aufgabe
Gegeben sei die Aussage A = n und m sind
zwei ganze Zahlen deren Produkt strikt negativ und deren Summe strikt positiv
ist. Geben Sie jeweils eine (nichttriviale) Bedingung für n und m in
Mengenschreibweise an, die für A
c) hinreichend und notwendig ist |
Erstmal Danke für die zügige Antwort. Ich hatte übrigens Aufgabe a) und b) ausversehen getauscht gehabt, aber die Antworten von mir gelassen wie sie waren, deswegen hatte mich das anfangs etwas verwirrt.
Nun zu deiner Erläuterung:
> Es existiert ein n $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \IZ [/mm] $ für das ein x $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \IN [/mm] $
> existiert, für das gilt : n = -x
>
> und
>
> Es existiert ein m $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \IZ [/mm] $ für das ein x $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \IN [/mm] $
> existiert, für das gilt : m = x + 1
>
> wenn mann nun z.B. 2 für x einsetzt, kommt "n = -2" und
> "m = 3" heraus.
> Somit würde die Aussage A "(-2) * 3 < 0" und "(-2) + 3 =
> 1" ja stimmen.
>
> Vielleicht hast du ja jetzt eine Idee für c) bekommen. Du
> suchst also jetzt die Bedingung, die dir genau diese
> Aussage liefert, d.h. du musst genau das angeben, was
> nötig ist, damit sie stimmt, nicht mehr (wie in a) aber
> auch nicht weniger (wie in b).
> Dein Ansatz ist schon garnicht so schlecht (meiner Meinung
> nach), allerdings kann die zweite Zahl (betragsmäßig) ja
> auch um noch mehr als nur um 1 größer sein.
> Ich tue mich da ein wenig schwer, denn eigentlich müsste
> man für n alle negativen Zahlen zulassen und für m dann
> nur die, deren Betrag größer ist als der Betrag der
> kleinsten Zahl für n - "die kleinste" gibt es aber in [mm]\IZ[/mm]
> nicht.
> Naja, vielleicht bekommst du hier ja noch ein paar Tipps
> .
>
> Gruß,
> Martin
Wie könnte "m = x + 1" betragsmäßig größer als um 1 sein wen x [mm]\in[/mm] [mm]\IN[/mm] ist?
Alternativ könnte man ja auch sagen, dass x [mm]\in[/mm] [mm]\IZ[/mm] ist und die Gleichung wie folgt abändern:
n = -1 * |x| bzw. m = [x] + 1
Egal welche Zahl ich nun für "x" einsetze kommen für "n" und "m" immer solche Zahlen heraus, dass die Aussage wahr ist. Ich bin so ziemlich sicher, dass die Aussage auch wahr wäre, wenn ich das ganze gegen Unendlich laufen lasse.
Ich hab mir jetzt darüber 3 Tage lang einen Kopf gemacht und eine andere alternative scheint es für mich nicht zu geben. Nur möchte ich eben ganz sicher sein, weil die Bedingungen für einen Schein in der Übung ziemlich happig sind.
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Naja, du könntest ja z.B. auch m=2x wählen und dann würde es immer noch stimmen... das ist ja die Schwierigkeit in der Formulierung, finde ich.
Evtl. könnte das auch so passen:
[mm]n \in \IZ^- \wedge m \in \IN \wedge m > |n| [/mm]
Wenn n und m so sind, bekommst du auf alle Fälle eine wahre Aussage (hinreichend).
Wenn n und m nicht so sind, bekommst du auf alle Fälle eine falsche Aussage (notwendig).
Nur ist die letzte Bedingung eben nicht in Mengenschreibweise...
Gruß,
Martin
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> Naja, du könntest ja z.B. auch m=2x wählen und dann
> würde es immer noch stimmen... das ist ja die
> Schwierigkeit in der Formulierung, finde ich.
> Evtl. könnte das auch so passen:
> [mm]n \in \IZ^- \wedge m \in \IN \wedge m > |n|[/mm]
>
> Wenn n und m so sind, bekommst du auf alle Fälle eine
> wahre Aussage (hinreichend).
> Wenn n und m nicht so sind, bekommst du auf alle Fälle
> eine falsche Aussage (notwendig).
>
> Nur ist die letzte Bedingung eben nicht in
> Mengenschreibweise...
>
> Gruß,
> Martin
Ach jetzt weis ich wie du das meinst.
Wenn deine oben beschriebene Bedingung richtig ist, könnte man sie doch in ungefähr so umschreiben, dass sie in Mengenschreibweise steht:
$ n [mm] \in \IZ^- \wedge [/mm] m [mm] \in \{ \{ \IZ > |n| \} \} [/mm] $
Erstens wäre die Bedingung erfüllt, das m [mm] \wedge [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] wären. Bei deiner Ausführung wäre ja m [mm] \in \IN [/mm] und somit die Bedingung nicht erfüllt, oder irre ich mich da?
Und zweitens wären wirklich alle Möglichkeiten enthalten, damit die Aussage zutrifft.
Morgen ist Übungsabgabe und ich werd schon leicht nervös, vor allem dass es ja das erste Blatt ist. Da will ich nicht wissen, was danach noch kommt..
Trotzdem bin ich sehr dankbar, dass sich jemand mit meinem Problem auseinandersetzt.
Gruß,
Andy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 29.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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