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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - hessesche form
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hessesche form: tipp ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mo 28.04.2008
Autor: mef

Aufgabe
gegeben ist die ebene: E: [mm] 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=12 [/mm]
die spurpunkte [mm] S_{1},S_{2},S{3} [/mm] der ebene E bilden zusammen  mit dem ursprung O die ecken einer pyramide. berechnen sie das volumen dieser pyramide möglichst geschickt.
benötigen sie dazu die hessesche normalform?

hallo zusammen,
also ich habe mir natürlich auch gedanken dazu gemacht.

[mm] \overline{S_{1}S_{2}}, \overline{S_{2}S_{3}} [/mm] u.s.w.
sind gleichlang und müssen sich orthogonal zueinander
verhalten.

aber so kriege ich die spurpunkte natürlich nicht raus
bitte um nen ansatz idee tipp

dank im voraus
        
Bezug
hessesche form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Mo 28.04.2008
Autor: miniscout


> gegeben ist die ebene: E: [mm]3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=12[/mm]
>  die spurpunkte [mm]S_{1},S_{2},S{3}[/mm] der ebene E bilden
> zusammen  mit dem ursprung O die ecken einer pyramide.
> berechnen sie das volumen dieser pyramide möglichst
> geschickt.

Kennst du die Definition der Spurpunkte? Die drei Spurpunkte im [mm] $\IR^3$ [/mm] haben die Form

[mm] $\vektor{a \\ 0 \\ 0}$, $\vektor{0 \\ b \\ 0}$, $\vektor{0 \\ 0 \\ c}$ [/mm]

Wenn du die Vektoren in deine Ebenengleichung einsetzt, kommst du automatisch auf deine drei Punkte [mm] S_1, S_2 [/mm] und [mm] S_3. [/mm]


>  benötigen sie dazu die hessesche normalform?

Prinzipiell nicht.[kopfkratz3] Der Vektor [mm] $\vektor{a \\ b \\ c}$ [/mm] ist ein Normalenvektor auf die Ebene. [keineahnung]

Gruß miniscout
Bezug
                
Bezug
hessesche form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mo 28.04.2008
Autor: mef

dann hätte ich noch ne klitze kleine frage undzwar
bezüglich des volumens
formal lautet:
V=1/3 [mm] *a^2*h [/mm]

die höhe kann ich ablesen

a müsste doch eigetlich so zu berechnen sein?:
ist die eine dreickige fläche deshalb grundfläche mal höhe
durch 2 oder??
also ist a= 6*3*1/2
????
und das volumen:
1/3 *(6*3*1/2)*3  =9
Bezug
                        
Bezug
hessesche form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mo 28.04.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> dann hätte ich noch ne klitze kleine frage undzwar
>  bezüglich des volumens
>  formal lautet:
>  V=1/3 [mm]*a^2*h[/mm]                     ??  [kopfschuettel]
>  
> die höhe kann ich ablesen
>  
> a müsste doch eigetlich so zu berechnen sein?:
>  ist die eine dreickige fläche deshalb grundfläche mal           ¿¿¿
> höhe
>  durch 2 oder??                  [notok]
>  also ist a= 6*3*1/2

   was betrachtest du als Grundfläche, was als Höhe, für was steht a ?
          
>  ????
>  und das volumen:
>  1/3 *(6*3*1/2)*3  =9         [notok]

Man könnte die Pyramide als Pyramide mit dem Grunddreieck  [mm]S_1S_2S_3[/mm]  betrachten. Dann müsste man die Höhe dieser Pyramide (=Abstand der Ebene E von O(0/0/0) ) mit der Hesseschen Form bestimmen.
Dies wäre aber hier viel zu viel Aufwand. Es ist viel einfacher, das Dreieck  [mm]OS_1S_2[/mm]  als Grundfläche und  [mm]OS_3 [/mm]  als Höhe zu nehmen.

Gruß  al-Ch.
Bezug
                                
Bezug
hessesche form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mo 28.04.2008
Autor: mef

ok danke schön
gruß mef
Bezug
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