hermitisch : reelle Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Do 25.08.2005 | | Autor: | Scale |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich möchte zeigen das jede hermitische Matrix nur reelle Eigenwerte hat:
Mein Ansatz: Das folgt direkt aus [mm] \overline{a_{ji}}=a_{ij} [/mm] für die Nebendiagonalen, da bei der Bestimmung des char. Polynoms immer [mm] (a+ib)(a-ib)=a^2+b^2 [/mm] =:reell gilt; Und für die Hauptdiagonale gilt [mm] \overline{a_{ii}}=a_{ii}, [/mm] was nur möglich ist wenn alle [mm] a_{ii} [/mm] reell sind.
Kann man das so knapp formulieren?
Vielen Dank schonmal, mfg, Scale.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Do 25.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Scale!
Ich kann deine Argumentation leider nicht nachvollziehen. Wie mir scheint, versuchst du zu zeigen, dass die Koeffizienten des charakteristischen Polynomes aus [mm] $\IC[x]$ [/mm] reell sind, oder? Selbst wenn dem so ist, was ich im Augenblick weder zeigen noch widerlegen kann, ist damit noch nicht gezeigt, dass das Polynom nur reelle Nullstellen hat - schließlich iust [mm] $\IR$ [/mm] ja nicht algebraisch abgeschlossen, das reelle charakteristische Polynom kann also durchaus komplexe Nullstellen besitzen.
Eine einfache Lösung der Aufgabe lässt sich mit Hilfe selbstadjungierter, linearer Abbildungen finden. Sei $V$ ein unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] $\langle [/mm] , [mm] \rangle$, [/mm] dann ist [mm] $f:V\to [/mm] V$ selbstadjungiert, wenn [mm] $\langle f(v),w\rangle [/mm] = [mm] \langle v,f(w)\rangle$ [/mm] für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ gilt. Es zeigt sich, dass eine lineare Abbildung $f$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn ihre Darstellungsmatrix bzgl. einer Orthonormalbasis hermitesch ist. Fasst du also die dir gegebene hermitesche Matrix als Darstellungsmatrix einer selbstadjungierten, linearen Abbildung $f$ auf und sei [mm] $\lambda\in\IC$ [/mm] Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $v\not= 0\in [/mm] V$, dann gilt (da $f$ selbstadjungiert ist): [mm] $\lambda \langle v,v\rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda v,v\rangle [/mm] = [mm] \langle f(v),v\rangle [/mm] = [mm] \langle v,f(v)\rangle [/mm] = [mm] \langle v,\lambda v\rangle [/mm] = [mm] \overline{\lambda}\langle v,v\rangle$. [/mm] Da [mm] $\langel [/mm] , [mm] \rangle$ [/mm] ein Skalarprodukt, insbesondere also positiv definit und [mm] $v\not= [/mm] 0$ ist, folgt nach linksseitiger Multiplikation mit [mm] $\langle v,v\rangle^{-1}$, [/mm] dass [mm] $\lambda=\overline{\lambda}$ [/mm] gilt, was äquivalent zu [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Do 25.08.2005 | | Autor: | Scale |
Moin, Hanno,
Danke für die Antwort. Ist mir jetzt glasklar. (Gut das ich nochmal gefragt habe, hab wirklich die Koeffizienten mit den Nullstellen verwurstelt. )
mfg, Scale
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