herleitung der TD-Potentiale < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 10.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo, mich interessiert, wie man ausgehend von der Gibbschen Fundamentalgleichung auf die verschiedenen TD Potentiale kommt.
[mm] dU(S,V,N)=TdS-pdV+{\mu}N
[/mm]
Wenn ich als Beispiel die Enthalpie bekommen möchte:
Bei der Enthalpie habe ich ja eine Abhängigkeit von p statt von V.
In meinem Skript steht jetzt: [mm] U-\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}|_{S,N}*V=U+pV=H
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] \bruch{{\partial}U}{{\partial}V}=p [/mm] ist, aber ich verstehe jetzt nicht, wie man darauf kommt. Wie man von dem Punkt weiterrechnet mit dH=d(U+pV)=... und das dU von oben einsetzen und man bekommt das richtige Ergebnis verstehe ich wieder.
Und wieso lässt man den Rest der GFG wegfallen, und leitet nur nach V partiell ab?
Hoffentlich kann man verstehen, was ich meine. 
Vielen Dank,
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 So 10.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo, mich interessiert, wie man ausgehend von der
> Gibbschen Fundamentalgleichung auf die verschiedenen TD
> Potentiale kommt.
>
> [mm]dU(S,V,N)=TdS-pdV+{\mu}N[/mm]
>
> Wenn ich als Beispiel die Enthalpie bekommen möchte:
>
> Bei der Enthalpie habe ich ja eine Abhängigkeit von p
> statt von V.
>
> In meinem Skript steht jetzt:
> [mm]U-\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}|_{S,N}*V=U+pV=H[/mm]
>
> Ich weiß, dass [mm]\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}=p[/mm] ist,
> aber ich verstehe jetzt nicht, wie man darauf kommt. Wie
[mm] $\mathrm{d}U$ [/mm] ist ein totales Differential, welche so definiert ist:
[mm] $\mathrm{d}f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathrm{d}x_{i}$
[/mm]
weiterhin gilt: $U=U(S,V,N)$
Jetzt das Differential ausrechnen:
[mm] $\mathrm{d}U=\frac{\partial U}{\partial S}\mathrm{d}S+\frac{\partial U}{\partial V}\mathrm{d}V+\frac{\partial U}{\partial N}\mathrm{d}N$
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich mit oben liefert nun:
[mm] $p=-\frac{\partial U}{\partial V}$
[/mm]
> man von dem Punkt weiterrechnet mit dH=d(U+pV)=... und das
> dU von oben einsetzen und man bekommt das richtige Ergebnis
> verstehe ich wieder.
>
> Und wieso lässt man den Rest der GFG wegfallen, und leitet
> nur nach V partiell ab?
Was ist GFG?
>
> Hoffentlich kann man verstehen, was ich meine.
Ich weiß nicht, ob Deine Frage beantwortet ist, deshalb lasse ich mal halboffen.
>
> Vielen Dank,
>
> volk
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 10.06.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
> > In meinem Skript steht jetzt:
> > [mm]U-\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}|_{S,N}*V=U+pV=H[/mm]
> >
> > Ich weiß, dass [mm]\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}=p[/mm] ist,
> > aber ich verstehe jetzt nicht, wie man darauf kommt. Wie
>
> [mm]\mathrm{d}U[/mm] ist ein totales Differential, welche so
> definiert ist:
> [mm]\mathrm{d}f=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathrm{d}x_{i}[/mm]
>
> weiterhin gilt: [mm]U=U(S,V,N)[/mm]
> Jetzt das Differential ausrechnen:
> [mm]\mathrm{d}U=\frac{\partial U}{\partial S}\mathrm{d}S+\frac{\partial U}{\partial V}\mathrm{d}V+\frac{\partial U}{\partial N}\mathrm{d}N[/mm]
>
> Ein Koeffizientenvergleich mit oben liefert nun:
> [mm]p=-\frac{\partial U}{\partial V}[/mm]
>
Das war nicht das Problem.
Das was ich nicht verstehe ist der Ansatz:
> > In meinem Skript steht jetzt:
> > [mm]U-\bruch{{\partial}U}{{\partial}V}|_{S,N}*V=U+pV=H[/mm]
> >
Wenn ich es weiterrechne, ableite und einsetze komme ich auf das richtige Ergebnis und das funktioniert auch bei anderen TD-Potentialen, aber wieso lautet der Ansatz so, dass ich nach der Variable ableite, die ich "ersetzt" haben möchte?
Also, wenn ich eine Abhängigkeit von p statt von V möchte, nach V ableite?
Und wieso nimmt man plötzlich statt [mm] dU=TdS-pdV+{\mu}dN [/mm] , [mm] U=TS-pV+{\mu}N
[/mm]
Viele Grüße,
volk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
der 'Trick', den man hier ausnutzt nennt sich 'Legendre-Transformation':
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Transformation
Das Ziel ist hier, eine Variable (nennen wir sie [mm]x[/mm]) einer Funktion [mm]f(x)[/mm] zu ersetzen durch sagen wir [mm]u[/mm], wobei [mm]u=\partial f / \partial x[/mm] gilt.
Also in deinem Fall will man also das Volumen durch den Druck ersetzen. Dabei weiss man aber schon, dass [mm]p=-\partial U / \partial V[/mm] gilt.
Wie man das dann mathematisch macht, steht dann oben in dem Link bzw. man kennt diese 'Legendre-Transformation' schon.
Dass man gerade
[mm]U=TS-pV+\mu N[/mm]
schreiben kann liegt daran, dass die (innere) Energie eine 'Zustandsgroesse' ist, also nur vom momentanen Zustand des Gases abhaengt und eben nicht vom Weg, wie man zu diesem Zustand gekommen ist.
Im Gegensatz dazu ist z.B. die Arbeit [mm]\mathrm{d}W[/mm] keine Zustandsgroesse und haengt vom Weg ab, wie man zu diesem Zustand gekommen ist. Deshalb gibt es keine Funktion [mm]W(\cdot,\cdot)[/mm], die angibt, wie die 'Arbeit' des Gases ist bei genau diesem Zustand. Deshalb gibt es nur das 'Differential' [mm]\mathrm{d}W[/mm].
Wenn du es mathematisch haben moechtest, so kann man sagen, dass das Differential [mm]\mathrm{d}U[/mm] der (inneren) Energie 'exakt' ist. D.h. zu diesem Differential
[mm]\mathrm{d}U=\mathrm{d}Q-\mathrm{d}W[/mm] gibt es eine Funktion [mm]U[/mm], aus der das Differential folgt (was wir ja oben schon behauptet haben, weil [mm]U[/mm] eine Zustandsgroesse ist)
Das Differential der Arbeit [mm]\mathrm{d}W[/mm] nicht 'exakt' ist, d.h. es gibt keine Funktion [mm]W[/mm], wie oben auch schon behauptet.
Da wir schon wissen, dass die innere Energie vom Volumen, der Entropie und der Teilchenzahl abhaengt, wissen wir, dass
[mm]U=U(S,V,N)[/mm] gelten muss.
Also folgt
[mm]\mathrm{d}U=\partial_S U \mathrm{d}S + \partial_V U \mathrm{d}V + \partial_N U \mathrm{d}N[/mm].
Da man aus dem ersten Hauptsatz aber schon weiss (wenn [mm]\mathrm{d}N=0[/mm],was wir jetzt mal kurz annehmen) dass
[mm]\mathrm{d}U=\mathrm{d}Q-\mathrm{d}W=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V[/mm]
(wobei man den letzten Zusammenhang auch leicht zeigen kann)
dann folgt ja
[mm]\partial_S U = T[/mm], [mm]\partial_V U = -p[/mm]
Dass jetzt gerade
[mm]U=TS-pV+\mu N=TS+F[/mm]
wobei [mm]F[/mm] die Freie Energie ist
gilt, kann man entweder durch Integration des Differentials der (inneren) Energie berechnen, oder aber, man rechnet es schnell nach:
[mm]\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S + S\mathrm{d}T +\mathrm{d}F[/mm]
Da [mm]\mathrm{d}F = -S\mathrm{d}T - p \mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N[/mm]
gilt, folgt:
[mm]\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S + S\mathrm{d}T-S\mathrm{d}T - p \mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N=T\mathrm{d}S - p\mathrm{d}V + \mu \mathrm{d}N[/mm]
was ja genau dem Differential der (inneren) Energie vom Anfang entspricht.
Ich hoffe, das hilft ein bisschen weiter.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 18.06.2012 | | Autor: | volk |
Wow,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Jetzt ist mir das klar geworden
Viele Grüße,
volk
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