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Forum "Funktionalanalysis" - hausdorffscher raum, kompakt
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hausdorffscher raum, kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mo 22.05.2006
Autor: Eumel09

Aufgabe
Sei X ein Hausdorffscher Raum und [mm] X_{0} \subseteq [/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeigen Sie: Ist M kompakt in X, so ist M [mm] \cap X_{0} [/mm] kompakt bezüglich der Spurtopologie in [mm] X_{0}. [/mm]
Warum kann auf Abgeschlossenheit von [mm] X_{0} [/mm] nicht verzichtet werden?

Hallo,

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. [mm] X_{0} [/mm] ist abgeschlossen, also liegt der Grenzwert jeder konvergenten Folge von [mm] X_{0} [/mm] wieder in [mm] X_{0}. [/mm] Und M ist kompakt, also hat jede Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung. Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.

Wär für Tipps sehr dankbar

gruß eumel

        
Bezug
hausdorffscher raum, kompakt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Di 23.05.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

nimm eine Überdeckung [mm] X_i,i\in [/mm] I von [mm] M\cap X_0 [/mm] mit in [mm] X_0 [/mm] offenen Mengen [mm] X_i, [/mm] Dann gibt es in X offene Mengen [mm] Y_i [/mm]
mit [mm] Y_i\cap X=X_i [/mm] (Def. der Spurtopologie),

Da [mm] X_0 [/mm] abgeschl. , ist also [mm] X\setminus X_0 [/mm] offen, und die

[mm] Z_i:= Y_i\cup (X\setminus X_0) [/mm]

sind eine offene Überdeckung von M, also gibt es eine endliche Teilüberdeckung mit Indexmenge [mm] J\subseteq [/mm] I, J endlich.

Dann sind die [mm] X_i,i\in [/mm] J eine endl. teilüberd. von [mm] M\cap X_0. [/mm]

Was mich etwas misstrauisch macht, ist, dass dabei nicht benutzt wurde, dass X Hausdorffsch ist.

Gruss,

Mathias

Bezug
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