harmonische Funktion (?) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:03 Do 28.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo noch ein hoffentlich letztes Mal erstmal...
Hier noch eine Aufgabe...
Es seien [mm] \Omega\subset\IR^2 [/mm] mit [mm] 0\in\Omega [/mm] ein einfach zusammenhängendes Gebiet und [mm] u\in C^2(\Omega) [/mm] eine harmonische Funktion. Definiere [mm] v(x,y):=\integral_{\gamma}\bruch{\partial{u}}{\partial{x}}dy-\bruch{\partial{u}}{\partial{y}}dx, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] eine glatte Kurve in [mm] \Omega [/mm] ist, die den Ursprung mit [mm] (x,y)\in \Omega [/mm] verbindet. Zeige zunächst, dass v wohldefiniert ist (d.h. die Konstruktion hängt nicht von der Wahl der Kurve [mm] \gamma [/mm] ab). Zeige weiter, dass v eine harmonische Funktion in [mm] \Omega [/mm] ist, und dass [mm] \bruch{\partial{u}}{\partial{x}}=\bruch{\partial{v}}{\partial{y}} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{u}}{\partial{y}}=-\bruch{\partial{v}}{\partial{x}}
[/mm]
Leider weiß ich hier im Moment noch überhaupt nicht so ganz, was ich machen soll...
Vielleicht kann mir noch jemand helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Fr 29.04.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo Bastiane
Ich schreib dir mal n paar Dinge zu der Aufgabe hin, die dir helfen sollten, sie zu lösen. (Ich setze bei all meinen verwendeten mathematischen Objekten voraus, dass sie nett sind, also genügend oft diff.bar, stetig, etc.)
1) Eine Funktion u = [mm] u(x_1,x_2,...,x_n) [/mm] heisst harmonisch, wenn gilt: [mm] \Delta [/mm] u [mm] \equiv [/mm] 0.
2) v(x,y) = [mm] \int_{\gamma}(\frac{\partial u}{\partial x}dy [/mm] - [mm] \frac{\partial u}{\partial y}dx) [/mm] = [mm] \int_{\gamma} \vec{K}\cdot\vec{d\mu}, [/mm] wobei [mm] \vec{K} [/mm] = [mm] (-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x}).
[/mm]
3) Ich gehe davon aus, dass du weisst, wie man Linienintegrale löst (Parametrisierung der Kurve)
4) wohldefiniert: Sei [mm] \beta [/mm] eine beliebige, nette Kurve mit Anfangspunkt (0,0) und Endpunkt (x,y). Wir wählen eine Parameterdarstellung [mm] \phi [/mm] von [mm] \beta: \phi [/mm] : t [mm] \mapsto \phi(t) [/mm] = [mm] (\phi_1(t), \phi_2(t)).
[/mm]
Das Linienintgegral mal aufschreiben, und ein wenig umformeln (partielle Integration). Gewisse Terme bleiben, gewisse fallen weg (Bedenke: Randterme hängen nicht von der Wahl von [mm] \gamma [/mm] ab, u ist harmonisch)
5) v harmonisch: zeige: [mm] \delta [/mm] v [mm] \equiv [/mm] 0
6) der Rest sollte eigentlich kein Problem sein
Ich hoff, es hat dir geholfen.
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