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| Aufgabe | G ist eine Gruppe mit neutralem Element 1
a) gilt U [mm] \cup [/mm] W=G für 2 Untergruppen U,W [mm] \le [/mm] G, dann ist U=G oder W=G
b) Gilt (G:H)=2 für eine Untergruppe H [mm] \le [/mm] G, so ist H Normalteiler von G
c) Gilt [mm] g^2=1 [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G, so ist G abelsch. |
--------------
Hallo,
ich habe mal eine Verständnnisfrage zu
zua)
man stelle sich W als einen Kreis vor. Die linke hälfte des kreises bezeicchne man als U die rechte als W..
Es gilt dann U [mm] \cup [/mm] W=G (also der gesamte kreis) , aber daraus folgt doch nicht dass U=G (U=Halbkreis; G=ganzer Kreis )oder W=G ist... Ich verstehe nicht, wieso mein Schaubild falsch sein sollte.
oder mit einem zahlenbeispiel:
U={2,-2,3,-,3,0}
w={2,-2,4,-4,0}
bzgl Addition sind U, W gruppen,
U [mm] \cuo [/mm] W={-2,2,0}, was aber weder gleich U oder W ist....
-----------
zu b)
G:H=2 -> G=2H -> [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G und ein h [mm] \in [/mm] H mit g =2h -> g o h o [mm] g^{-1}=2h [/mm] o h o [mm] 2h^{-1}=h \in [/mm] H
-----------
zu c) [mm] g^2=g [/mm] o g oder?
g o g= g o g = [mm] g^2 [/mm] -> kommutativität erfüllt -> G ist abelsch, da G Gruppe nach Vorraussetzung ist
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> G ist eine Gruppe mit neutralem Element 1
> a) gilt U [mm]\cup[/mm] W=G für 2 Untergruppen U,W [mm]\le[/mm] G, dann ist
> U=G oder W=G
> b) Gilt (G:H)=2 für eine Untergruppe H [mm]\le[/mm] G, so ist H
> Normalteiler von G
> c) Gilt [mm]g^2=1[/mm] für alle g [mm]\in[/mm] G, so ist G abelsch.
> --------------
> Hallo,
> ich habe mal eine Verständnnisfrage zu
>
> zua)
> man stelle sich W als einen Kreis vor. Die linke hälfte des
> kreises bezeicchne man als U die rechte als W..
> Es gilt dann U [mm]\cup[/mm] W=G (also der gesamte kreis) , aber
> daraus folgt doch nicht dass U=G (U=Halbkreis; G=ganzer
> Kreis )oder W=G ist... Ich verstehe nicht, wieso mein
> Schaubild falsch sein sollte.
> oder mit einem zahlenbeispiel:
> U={2,-2,3,-,3,0}
> w={2,-2,4,-4,0}
> bzgl Addition sind U, W gruppen,
> U [mm]\cuo[/mm] W={-2,2,0}, was aber weder gleich U oder W ist....
Deine Bsp. sind alle nicht abgeschlossen, z.B. ist oben die 3 in U, aber 3+3=6 ist nicht in U. Also ist U keine (Unter-)Gruppe.
> -----------
> zu b)
> G:H=2 -> G=2H -> [mm]\exists[/mm] g [mm]\in[/mm] G und ein h [mm]\in[/mm] H mit g =2h
> -> g o h o [mm]g^{-1}=2h[/mm] o h o [mm]2h^{-1}=h \in[/mm] H
Na mei.... was bedeutet denn (G:H)? Schau das ma in deinem Skript nach.
>
> -----------
> zu c) [mm]g^2=g[/mm] o g oder?
> g o g= g o g = [mm]g^2[/mm] -> kommutativität erfüllt -> G ist
> abelsch, da G Gruppe nach Vorraussetzung ist
Du musst aber zeigen, dass gh=hg ist für beliebige g,h aus G.
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hallo,
> > man stelle sich W als einen Kreis vor. Die linke hälfte des
> > kreises bezeicchne man als U die rechte als W..
> > Es gilt dann U [mm]\cup[/mm] W=G (also der gesamte kreis) , aber
> > daraus folgt doch nicht dass U=G (U=Halbkreis; G=ganzer
> > Kreis )oder W=G ist... Ich verstehe nicht, wieso mein
> > Schaubild falsch sein sollte.
und das schaubild mit dem Kreis? Wieso funktioniert das nciht?
wie kann man hier denn mit einem beweis anfangen? (mit Elementen?!? z.B:
x [mm] \in [/mm] G (=U [mm] \cup [/mm] W) -> x [mm] \in [/mm] W oder x [mm] \in [/mm] U
das würde ja aber nicht heißen dass U=G oder W=G wäre, außerdem hätte man nur eine Definition angewendet....ich weiß einfach nicht wie ich hier weiter gehen könnte...
> > -----------
> > zu b)
> > G:H=2 -> G=2H -> [mm]\exists[/mm] g [mm]\in[/mm] G und ein h [mm]\in[/mm] H mit g
> =2h
> > -> g o h o [mm]g^{-1}=2h[/mm] o h o [mm]2h^{-1}=h \in[/mm] H
>
> Na mei.... was bedeutet denn (G:H)? Schau das ma in deinem
> Skript nach.
>
> >
> > -----------
> > zu c) [mm]g^2=g[/mm] o g oder?
> > g o g= g o g = [mm]g^2[/mm] -> kommutativität erfüllt -> G ist
> > abelsch, da G Gruppe nach Vorraussetzung ist
>
> Du musst aber zeigen, dass gh=hg ist für beliebige g,h aus
> G.
wäre es so richtig?
sei obdA:
[mm] q:=g^2 [/mm] q,g [mm] \in [/mm] G
q o g -> (g o g) o g
g o q -> g o (g o g)
-> ablesch
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Natürlich "funktioniert" dein Schaubild, es zeigt aber nicht die "Realität" an.
An einem einfachen Beispiel zunächst erklärt:
Stell dir vor, du zeichnest zwei Kreise, die sich teilweise überlappen. Der eine stellt die Menge der geraden, der andere die Menge der Viererzahlen dar. Dann stellst du auf einmal fest, dass die Viererzahlen Untermenge der geraden Zahlen sind und eine Teilfläche deines Bildes leer ist. Was ist nun an deinem Bild falsch?
Nun zu a): Der Beweis geht indirekt!
Du zeigst: Wenn von den Untergruppen U und W keine ganz G ist, dann können sie vereinigt auch nicht ganz G sein. Das bedeutet: Die beiden überlappenden Kreise können zusammen nicht ganz G bilden, es gibt noch mindestens ein Element außerhalb ihrer Vereinigung.
Anleitung: Betrachte zuerst den trivialen Fall U [mm] \subset [/mm] W oder W [mm] \subset [/mm] U, danach den Fall (U nicht [mm] \subset [/mm] W und W nicht [mm] \subset [/mm] U). Nun verknüpfst du ein bestimmtes Element aus U mit einem bestimmten Element aus W und stellst fest, dass das Ergebnis nicht in U [mm] \cup [/mm] W liegt. Aus deinem Mengenbild erkennst du, welche Elemente da wohl in Frage kommen...
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Hallo!!
Danke für deine schnelle Antwort
> Natürlich "funktioniert" dein Schaubild, es zeigt aber
> nicht die "Realität" an.
>
> An einem einfachen Beispiel zunächst erklärt:
> Stell dir vor, du zeichnest zwei Kreise, die sich
> teilweise überlappen. Der eine stellt die Menge der
> geraden, der andere die Menge der Viererzahlen dar. Dann
> stellst du auf einmal fest, dass die Viererzahlen
> Untermenge der geraden Zahlen sind und eine Teilfläche
> deines Bildes leer ist. Was ist nun an deinem Bild falsch?
>
ich hab mir das mal aufgemalt mit den geraden zahlen und den viererzahlen, aber irgendwie sehe ich immer noch nicht ganz, warum mein bild falsch ist....
> Nun zu a): Der Beweis geht indirekt!
>
> Du zeigst: Wenn von den Untergruppen U und W keine ganz G
> ist, dann können sie vereinigt auch nicht ganz G sein. Das
> bedeutet: Die beiden überlappenden Kreise können zusammen
> nicht ganz G bilden, es gibt noch mindestens ein Element
> außerhalb ihrer Vereinigung.
>
> Anleitung: Betrachte zuerst den trivialen Fall U [mm]\subset[/mm] W
> oder W [mm]\subset[/mm] U, danach den Fall (U nicht [mm]\subset[/mm] W und W
> nicht [mm]\subset[/mm] U). Nun verknüpfst du ein bestimmtes Element
> aus U mit einem bestimmten Element aus W und stellst fest,
> dass das Ergebnis nicht in U [mm]\cup[/mm] W liegt.
hmm, das verstehe ich leider noch nicht ganz:
den ersten fall, verstehe ich
U [mm] \cup [/mm] W oder W [mm] \cup [/mm] U sei x [mm] \in [/mm] E und x [mm] \notin [/mm] U
-> x [mm] \notin [/mm] (U [mm] \cup [/mm] W)
der zweite Fallm, lässt sich genauso druchführen
U nicht [mm] \subset [/mm] W ( oder W nicht [mm] \cup [/mm] U ) mit x [mm] \in [/mm] U und x [mm] \notin [/mm] W
bildlcih gesehen habe ich zwei kreise, die sich nicht überschneiden
->
x [mm] \notin [/mm] (U [mm] \cup [/mm] W)=G
> Mengenbild erkennst du, welche Elemente da wohl in Frage
> kommen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 So 08.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!!
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> Danke für deine schnelle Antwort
> > Natürlich "funktioniert" dein Schaubild, es zeigt aber
> > nicht die "Realität" an.
> >
> > An einem einfachen Beispiel zunächst erklärt:
> > Stell dir vor, du zeichnest zwei Kreise, die sich
> > teilweise überlappen. Der eine stellt die Menge der
> > geraden, der andere die Menge der Viererzahlen dar. Dann
> > stellst du auf einmal fest, dass die Viererzahlen
> > Untermenge der geraden Zahlen sind und eine Teilfläche
> > deines Bildes leer ist. Was ist nun an deinem Bild falsch?
> >
>
> ich hab mir das mal aufgemalt mit den geraden zahlen und
> den viererzahlen, aber irgendwie sehe ich immer noch nicht
> ganz, warum mein bild falsch ist....
Meinst du das Bild mit G=Kreis, U,W=linker/rechter Halbkreis?
Was ist denn in diesem Fall bei dir die Verknüpfung? Addieren sich dann bei dir einfach die beiden Winkel?
Dann sind U und W aber wieder nicht abgeschlossen, da du ja durch das mehrfache addieren der Winkel um den kompletten Kreis drumrum läufst.
> > Nun zu a): Der Beweis geht indirekt!
> >
> > Du zeigst: Wenn von den Untergruppen U und W keine ganz G
> > ist, dann können sie vereinigt auch nicht ganz G sein. Das
> > bedeutet: Die beiden überlappenden Kreise können zusammen
> > nicht ganz G bilden, es gibt noch mindestens ein Element
> > außerhalb ihrer Vereinigung.
> >
> > Anleitung: Betrachte zuerst den trivialen Fall U [mm]\subset[/mm] W
> > oder W [mm]\subset[/mm] U, danach den Fall (U nicht [mm]\subset[/mm] W und W
> > nicht [mm]\subset[/mm] U). Nun verknüpfst du ein bestimmtes Element
> > aus U mit einem bestimmten Element aus W und stellst fest,
> > dass das Ergebnis nicht in U [mm]\cup[/mm] W liegt.
>
> hmm, das verstehe ich leider noch nicht ganz:
>
> den ersten fall, verstehe ich
>
> U [mm]\cup[/mm] W oder W [mm]\cup[/mm] U sei x [mm]\in[/mm] E und x [mm]\notin[/mm] U
> -> x [mm]\notin[/mm] (U [mm]\cup[/mm] W)
>
> der zweite Fallm, lässt sich genauso druchführen
> U nicht [mm]\subset[/mm] W ( oder W nicht [mm]\cup[/mm] U ) mit x [mm]\in[/mm] U
> und x [mm]\notin[/mm] W
> bildlcih gesehen habe ich zwei kreise, die sich nicht
> überschneiden
> ->
>
> x [mm]\notin[/mm] (U [mm]\cup[/mm] W)=G
>
>
> > Mengenbild erkennst du, welche Elemente da wohl in Frage
> > kommen...
>
Die Lösung dazu hat HJKweseleit weiter unten hingeschrieben.
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Hallo weihnachtsman,
> > > zu c) [mm]g^2=g[/mm] o g oder?
> > > g o g= g o g = [mm]g^2[/mm] -> kommutativität erfüllt -> G
> ist
> > > abelsch, da G Gruppe nach Vorraussetzung ist
> >
> > Du musst aber zeigen, dass gh=hg ist für beliebige g,h aus
> > G.
> wäre es so richtig?
> sei obdA:
> [mm]q:=g^2[/mm] q,g [mm]\in[/mm] G
> q o g -> (g o g) o g
> g o q -> g o (g o g)
>
> -> ablesch
>
Nein, du kannst doch nicht [mm] $q:=g^2$ [/mm] setzen.
Zum einen, weil du die Beh. - wie Merle gesagt hat - für beliebige Gruppenelemente zeigen musst, zum anderen, weil nach Voraussetzung [mm] $g^2=1$ [/mm] ist und du $q$ auf die Art als neutrales Element wählst
Halte dich an die Voraussetzungen.
Nimm dir beliebige [mm] $g,h\in [/mm] G$ her
Dann ist auch [mm] $g\circ h\in [/mm] G$, da $G$ als Gruppe abgeschlossen bzgl. [mm] $\circ$ [/mm] ist.
Damit ist nach Vor. dann [mm] $(g\circ h)^2=(g\circ h)\circ(g\circ [/mm] h)=1$
[mm] $\circ$ [/mm] ist assoziativ, du kannst also die Klammerung weglassen:
[mm] $\Rightarrow g\circ [/mm] h [mm] \circ g\circ [/mm] h=1$
Nun bist du fast am Ziel: multipliziere $g$ von links an die Gleichung und $h$ von rechts, dann bekommst du ...
LG
schachuzipus
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Hallo!
> Halte dich an die Voraussetzungen.
>
> Nimm dir beliebige [mm]g,h\in G[/mm] her
>
> Dann ist auch [mm]g\circ h\in G[/mm], da [mm]G[/mm] als Gruppe abgeschlossen
> bzgl. [mm]\circ[/mm] ist.
>
> Damit ist nach Vor. dann [mm](g\circ h)^2=(g\circ h)\circ(g\circ h)=1[/mm]
>
> [mm]\circ[/mm] ist assoziativ, du kannst also die Klammerung
> weglassen:
>
> [mm]\Rightarrow g\circ h \circ g\circ h=1[/mm]
>
> Nun bist du fast am Ziel: multipliziere [mm]g[/mm] von links an die
> Gleichung und [mm]h[/mm] von rechts, dann bekommst du ...
meinst du das so?
g [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h = h
(aber wieso darf ich an beide Seiten etwas unterschiedliches dran multiplizieren?)
g [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h = h
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h = h
[mm] \Rightarrow [/mm] h [mm] \circ [/mm] h [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h =h [mm] \circ [/mm] g
[mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] h =h [mm] \circ [/mm] g
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 08.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
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> > Halte dich an die Voraussetzungen.
> >
> > Nimm dir beliebige [mm]g,h\in G[/mm] her
> >
> > Dann ist auch [mm]g\circ h\in G[/mm], da [mm]G[/mm] als Gruppe abgeschlossen
> > bzgl. [mm]\circ[/mm] ist.
> >
> > Damit ist nach Vor. dann [mm](g\circ h)^2=(g\circ h)\circ(g\circ h)=1[/mm]
>
> >
> > [mm]\circ[/mm] ist assoziativ, du kannst also die Klammerung
> > weglassen:
> >
> > [mm]\Rightarrow g\circ h \circ g\circ h=1[/mm]
> >
> > Nun bist du fast am Ziel: multipliziere [mm]g[/mm] von links an die
> > Gleichung und [mm]h[/mm] von rechts, dann bekommst du ...
> meinst du das so?
>
> g [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h = h
>
> (aber wieso darf ich an beide Seiten etwas
> unterschiedliches dran multiplizieren?)
Darf man nicht. Du hast es falsch verstanden.
Erst g von links ranmultiplizieren: [mm]g\circ g\circ h \circ g\circ h=g[/mm].
Dann h von rechts: [mm]g\circ g\circ h \circ g\circ h\circ h=g\circ h[/mm].
>
> g [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h = h
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h = h
> [mm]\Rightarrow[/mm] h [mm]\circ[/mm] h [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] h =h [mm]\circ[/mm] g
> [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\circ[/mm] h =h [mm]\circ[/mm] g
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo !!!
Danke für dein Schaubild!!
Ich habe aber noch eine kurze Frage, wenn U nicht [mm] \cup [/mm] W und W nicht [mm] \cup [/mm] U, dann dürfen sich die Kreise doch nicht überschneiden, oder?
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Hallo !!!
Danke für dein Schaubild!!
Ich habe aber noch eine kurze Frage, wenn U nicht [mm] \cup [/mm] W und W nicht [mm] \cup [/mm] U, dann dürfen sich die Kreise doch nicht überschneiden, oder?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 08.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Doch, können sie. Es muss bloß noch immer ein Element geben, dass nicht in der anderen Menge enthalten ist.
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Konkrete Beispiele (hier mit unendlichen Mengen):
Betrachte die Mengen [mm] n\IZ=\{n*z|n\in \IN_0, fest;z\in \IZ\}="positive [/mm] und Negative ganzzahlige Vielfache der natürlichen Zahl n oder 0".
Jede dieser Mengen bildet eine Untergruppe in [mm] \IZ [/mm] bezüglich +.
So ist z.B. [mm] 7\IZ=\{0,7,-7,14,-14,21,-21...\}.
[/mm]
Betrachte nun die Gruppe [mm] G=2\IZ. [/mm] Sie enthält die Untergruppen [mm] 2\IZ [/mm] (sich selbst)und [mm] 4\IZ. [/mm] Es ist [mm] 2\IZ \cup 4\IZ [/mm] = [mm] 2\IZ=G. [/mm] Das liegt daran, dass ja schon [mm] 2\IZ=G [/mm] war.
Die beiden Untergruppen [mm] 6\IZ [/mm] und [mm] 8\IZ [/mm] von [mm] G=2\IZ [/mm] können vereinigt nicht [mm] G=2\IZ [/mm] geben:
6 liegt nur in [mm] 6\IZ, [/mm] 8 liegt nur in [mm] 8\IZ, [/mm] 24 liegt in [mm] 6\IZ [/mm] und in [mm] 8\IZ [/mm] (das beantwortet deine Frage). Nun ist 6+8=14 [mm] \in [/mm] G. Gäbe die Vereinigung nun ebenfalls G, so läge 14 in der Vereinigung, also in [mm] 8\IZ [/mm] oder [mm] 6\IZ, [/mm] was aber nicht stimmt.
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Hi,
wieso folgt aus G [mm] \not= [/mm] U [mm] \cup [/mm] W, dass G= U oder G=W ist?
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Genau anders herum:
Du zeigst, dass aus [mm] U\not=G [/mm] UND [mm] W\not=G [/mm] folgt, dass auch U [mm] \cup [/mm] W [mm] \not=G [/mm] ist. Die logische Umkehrung bedeutet dann:
Ist also U [mm] \cup [/mm] W =G , so ist entweder G=U oder G=W oder beides. Und genau dieses sollst du ja beweisen.
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